(Oral X Mp/Mpi)
Une partie {A\subset\mathbb N} est de densité {d} si {|A\cap\llbracket0,n\rrbracket|/(n+1)\to d} lorsque {n\to+\infty}.
| Question a) Une partie de {\mathbb N} admet-elle toujours une densité ? |
| Question b) Soit {(u_n)} une suite bornée de réels positifs ou nuls. Montrer que {\dfrac1{n+1}\sum_{k=0}^n u_k\to0} si et seulement s’il existe une partie {A\subset\mathbb N} de densité nulle telle que {u_n\to0} lorsque {n\to\infty} avec {n\notin A}. |
| Question c) Que dire d’une fonction {f:\mathbb R^+\to\mathbb R^+} transformant toute suite vérifiant les conditions de b) en une suite vérifiant ces mêmes conditions ? |