(Oral X Mp/Mpi)
Soit {f:\mathbb R\to\mathbb R}. Pour une fonction bornée {g}, on note {\|g\|_\infty=\sup_{x\in\mathbb R}|g(x)|}.
| Question a) On suppose {f} deux fois dérivable et {f,f''} bornées sur {\mathbb R}. Montrer que {f'} est bornée et que : {\|f'\|_\infty\leqslant\sqrt{2\|f\|_\infty\|f''\|_\infty}.} |
| Question b) Soit {r\geqslant3}. On suppose {f} {r} fois dérivable et {f,f^{(r)}} bornées sur {\mathbb R}. Montrer que, pour {1\leqslant k\leqslant r-1}, {f^{(k)}} est bornée et qu’il existe {C_k}, indépendante de {f}, telle que : {\|f^{(k)}\|_\infty\leqslant C_k\|f\|_\infty^{1-k/r}\|f^{(r)}\|_\infty^{k/r}.} |