X Mp/Mpi
Maximum d’une somme de voisins
Ordonner les entiers de {[1,n]} pour maximiser la somme des produits de voisins.
Parties sans somme dans un groupe
Parties « sans somme » dans un groupe abélien.
Équation diophantienne xp+yp+zp=0
Étudier une relation {x^p+y^p+z^p=0} par factorisation et divisibilité.
Divisibilité d’une somme binomiale
Le plus grand absent de aℕ+bℕ
Le plus grand entier absent de {a\mathbb N+b\mathbb N}.
Points rationnels sur un cercle
Un cercle {x^2+y^2=n} possède-t-il des points à coordonnées rationnelles non nulles ?
Un quotient entier de factorielles
Montrer que {(2m)!(2n)!/((m\!+\!n)!\,m!\,n!)} est toujours entier.
Développement décimal d’un rationnel
Quelle peut-être la période décimale de {n/27}? Généraliser.
Valeurs entières de (n³+5)/(n²+7)
Une équation diophantienne
Résoudre {1/a+1/b=n/(a+b)} en entiers strictement positifs.
Longueur maximale d’une antichaîne
Taille maximale d’une famille de parties dont aucune n’en contient une autre.
Morphismes de (ℚ,+) dans (ℚ*,x)
Déterminer les morphismes {(\mathbb{Q},+)\to (\mathbb{Q}^{\star},\times)}
Racine carrée d’une translation de ℤ
Existe-t-il {f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}} telle que, pour tout {n\in\mathbb{Z}}, {(f\circ f)(n)=n+a} ?