(Oral X Mp/Mpi)
Soit {n\in\mathbb{N}^{\star}}. Le but de l’exercice est de déterminer les automorphismes de {\mathfrak S_n} pour {n\neq6}.
| Question a) Pour toute permutation {\sigma\in\mathfrak S_n}, on note {Z(\sigma)} l’ensemble des permutations qui commutent avec {\sigma}. Montrer que {Z(\sigma)} est un sous-groupe de {\mathfrak S_n}. |
| Question b) Déterminer le cardinal de {Z(\sigma)} lorsque {\sigma} est une transposition, puis lorsque {\sigma} est un produit de transpositions à supports disjoints. |
| Question c) Soit {\varphi} un automorphisme de {\mathfrak S_n}. Montrer que, pour tout {\sigma\in\mathfrak S_n}, {Z(\varphi(\sigma))=\varphi(Z(\sigma))}. |
| Question d) Soit {\tau} une transposition. Montrer que {\varphi(\tau)} s’écrit comme un produit de transpositions à supports disjoints. |
| Question e) Supposons que, pour toute transposition {\tau}, {\varphi(\tau)} soit aussi une transposition. Montrer qu’il existe {\rho\in\mathfrak S_n} tel que, pour tout {\sigma\in\mathfrak S_n}, {\varphi(\sigma)=\rho\circ\sigma\circ\rho^{-1}}. |
| Question f) Supposons {n\neq6}. Soit {\tau} une transposition. Montrer que {\varphi(\tau)} est une transposition. Conclure. |