(Oral X Mp/Mpi)
Soient {p} un nombre premier impair, {S=\{1,\ldots,(p-1)/2\}} et {a\in\mathbb{Z}} non divisible par {p}.
| Question a) Montrer que {a^{(p-1)/2}\equiv\pm1\pmod p}. |
| Question b) Montrer que {a^{(p-1)/2}\equiv1\pmod p} si et seulement si la classe de {a} modulo {p} est un carré de {\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}. |
| Question c) On écrit, si {s\in S}, {as\equiv e_s(a)s_a\pmod p}, où {e_s(a)\in\{\pm1\}} et {s_a\in S}. Justifier, puis montrer que {s\mapsto s_a} est une bijection de {S} sur lui-même. |
| Question d) On note {\left(\frac ap\right)} l’élément de {\{\pm1\}} congru à {a^{(p-1)/2}} modulo {p}. Montrer que : {\left(\frac ap\right)=\prod_{s\in S}e_s(a).} |
| Question e) Montrer, pour {m\in\mathbb{N}} impair, l’identité imprimée dans le PDF : {\begin{array}{l}\sin(mx)=(-1)^{(m-1)/2}\sin x\\[6pt]\displaystyle\qquad\times\prod_{k=0}^{(m-1)/2}\left(\sin^2x-\sin^2(2\pi/m)\right).\end{array}} |
| Question f) Montrer, pour {p} et {q} premiers distincts : {\left(\frac pq\right)\left(\frac qp\right)=(-1)^{(p-1)(q-1)/4}.} |