(Oral X Mp/Mpi)
Soient {n\in\mathbb N^{\star}}, {F_n=(\mathbb Z/2\mathbb Z)^{\mathbb Z/n\mathbb Z}} et {G_n=(\mathbb Z/n\mathbb Z)\times F_n}. On pose, pour tous {(k,f),(\ell,g)\in G_n} : {(k,f)\star(\ell,g)=(k+\ell,f+g_k),}où {g_k:x\mapsto g(x+k)}.
| Question a) Montrer que {(G_n,\star)} est un groupe. |
| Question b) Montrer que ce groupe est engendré par {(1,0)} et {(1,u)}, où {u(x)=1} si {x=1} et {u(x)=0} sinon. |
| Question c) On suppose {n} premier. Quels sont les sous-groupes de {G_n} isomorphes à {\mathbb Z/n\mathbb Z} ? |