(Oral X Mp/Mpi)
Soit {p} un nombre premier impair. On note {G} le groupe des inversibles de {\mathbb Z/p\mathbb Z}, et {H} l’ensemble des carrés dans {G}.
| Question a) Montrer que {H} est un sous-groupe de {G} de cardinal {(p-1)/2}. |
| Question b) Donner une condition nécessaire et suffisante sur {p} pour que {-1\in H}. |
| Question c) Montrer que tout élément de l’anneau {\mathbb Z/p\mathbb Z} est somme de deux carrés. |
| Question d) On note : {\begin{array}{l}K=\{(a,b)\in\mathbb F_p^2:a^2+b^2=1\},\\[6pt]L=\{(a,b)\in\mathbb F_p^2:a^2+b^2=-1\}.\end{array}}Montrer que {K} et {L} ont même cardinal, et en déduire le cardinal de {K}. |
| Question e) Soit {n\in\mathbb N} impair. Dénombrer les {(z_1,\ldots,z_n)\in(\mathbb Z/p\mathbb Z)^n} tels que : {\sum_{k=1}^n z_k^2=1.} |