Sommes binomiales (2/3)
Exercices sur le thème « sommes avec coefficients binomiaux » (2/3)
Nombres réels
Sommes binomiales (1/3)
Exercices sur le thème « sommes avec coefficients binomiaux » (1/3)
Petits calculs de produits
Exercices sur le thème « produits de nombres réels ou complexes »
Petits calculs de sommes (2/2)
Exercices sur le thème « calculs de sommes de nombres réels ».
Petits calculs de sommes (1/2)
Exercices sur le thème « sommes de nombres réels ».
Rationnels et irrationnels
Exercices sur le thème « nombres rationnels et nombres irrationnels ».
Résolutions d’inéquations
Cinq exemples de résolutions d’inéquations dans \mathbb{R}.
Signe des racines d’un trinôme
Existence et signe des racines réelles de trinômes à paramètre.
Système non linéaire à paramètres
Soit a,b dans {\mathbb{R}^+}. Résoudre {(S)\begin{cases}x+y+z=a\\x^2+y^2+z^2=b^2\\xy=z^2\end{cases}} dans {\mathbb{R}}.
Équations à paramètre
Quatre exemples de résolution d’équation à paramètre.
Résolutions d’équations (2/2)
Quatre exercices sur la résolution d’équations dans l’ensemble des nombres réels (2/2)
Par analyse-synthèse
Cinq exercices illustrant le raisonnement par analyse-synthèse.
Une suite cachée de carrés d’entiers
Montrer que {u_n=\dfrac{1}{32}\Bigl((17+12\sqrt2)^n+(17-12\sqrt2)^n-2\Bigr)} est toujours le carré d’un entier.
Points fixes uniques
(oral Mines-Ponts)
Soient {f} et {g} deux fonctions continues sur {\mathbb{R}}, avec {f\circ g} décroissante.
Montrer que {f\circ g} et {g\circ f} admettent un unique point fixe.
Soient {f} et {g} deux fonctions continues sur {\mathbb{R}}, avec {f\circ g} décroissante.
Montrer que {f\circ g} et {g\circ f} admettent un unique point fixe.
Deux encadrements
(oral Mines-Ponts)
Montrer que {\forall\, x}, {y\in \mathbb{R}^{+*}}, {\Big(1+\dfrac{x}{y}\Big)^{y}\lt \text{e}^{x}\lt \Big(1+\dfrac{x}{y}\Big)^{x+y}}.
Montrer que {\forall\, x}, {y\in \mathbb{R}^{+*}}, {\Big(1+\dfrac{x}{y}\Big)^{y}\lt \text{e}^{x}\lt \Big(1+\dfrac{x}{y}\Big)^{x+y}}.
Produits de sommes de puissances
(oral Centrale)
Soit {(x,y,z)\in\,\mathbb{C}^3} tel que {x+y+z=0}.
Montrer que : {\dfrac{x^5+y^5+z^5}5=\dfrac{x^2+y^2+z^2}2\times\dfrac{x^3+y^3+z^3}3.}
Soit {(x,y,z)\in\,\mathbb{C}^3} tel que {x+y+z=0}.
Montrer que : {\dfrac{x^5+y^5+z^5}5=\dfrac{x^2+y^2+z^2}2\times\dfrac{x^3+y^3+z^3}3.}
Équation en arc tangente
(oral Mines-Ponts)
Résoudre dans {\mathbb{R}} : {\arctan(x-1)+\arctan(x)+\arctan(x+1)=\dfrac{\pi}{2}}.
Résoudre dans {\mathbb{R}} : {\arctan(x-1)+\arctan(x)+\arctan(x+1)=\dfrac{\pi}{2}}.