Espaces vectoriels normés
Exercices corrigés sur le thème « espaces vectoriels normés » pour Sup Mpsi Pcsi, et Spé Mp, Pc, Psi (posés aux concours Polytechnique, Ens, Mines-Ponts, Centrale, Ccp)

Un ouvert union de boules fermées

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A}

un ouvert d’un evn

{E}

de dimension finie.
Montrer que

{\Omega=\displaystyle\bigcup\limits_{a\in A}B_f(a,1)}

est un ouvert.

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Adhérence des matrices diagonalisables

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que l’adhérence de l’ensemble des matrices diagonalisables dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

est l’ensemble des matrices trigonalisables.

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Comparaison de normes fonctionnelles

(Oral X-Cachan)
Un exercice de l’oral X-Cachan sur une comparaison de deux normes de fonctions.

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Points extrémaux d’une partie convexe

(Oral X-Cachan)
Un exercice de l’oral X-Cachan 2017 sur les points extrémaux d’un convexe.

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Intérieur et adhérence dans un evn

Quatre exercices sur le thème « ouverts, fermés, intérieur, adhérence ».

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Distances dans un evn

Deux exercices sur le thème « distances dans un espace vectoriel normé ».

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Puissances de matrices carrées

Trois exercices sur le thème « puissances de matrices carrées ».

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Normes matricielles

Cinq exercices sur le thème « normes matricielles ».

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Boules ouvertes, boules fermées

Cinq exercices sur le thème « boules ouvertes ou fermées dans un evn ».

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Ouverts et fermés dans un evn

Trois exercices sur le thème « ouverts ou fermés d’un espace vectoriel normé ».

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Inégalités entre distances

Soit

{x,y,z,t}

quatre vecteurs d’un espace vectoriel normé

E

. Montrer que :

{\begin{array}{rl}\left\|{x\!-\!t}\right\|+\left\|{y\!-\!z}\right\|&\le\left\|{x\!-\!y}\right\|+\left\|{y\!-\!t}\right\|\\[6pts]&\quad+\left\|{t\!-\!z}\right\|+\left\|{z\!-\!x}\right\|\end{array}}

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Valeurs d’adhérence

(Oral X-Cachan Psi)
On définit l’ensemble des valeurs d’adhérence d’une suite complexe bornée

(u)

. On montre qu’il fermé non vide, et se réduit à un singleton si et seulement si

(u)

converge. On étudie enfin le cas des suites définies par une récurrence du type

u_{n+1}=f(u_n)

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Un calcul d’extrema lié

(Oral X-Cachan Psi)
Soit

{A_{\lambda}=\Big\{x\in(\mathbb{R}^{+*})^{n},\; \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}=n\lambda\Big\}}

.
Soit

{f\colon A_{\lambda} \rightarrow\mathbb{R},\; x\mapsto \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\ln(x_{i})}

.
On étudie les extrema de

f

sur

A_{\lambda}

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Question de point fixe

(Oral Centrale)
Soit

{E}

un espace vectoriel normé de dim finie.
Soit

{K\subset E}

un fermé borné non vide.
Soit

{f:K\rightarrow K}

telle que :

{x\ne y\Rightarrow\|f(x)-f(y)\|\lt \|x-y\|}

1. Montrer :

{\exists\,!\,c\in K,\;f(c)=c}

.
2. Soit

{x_0\in K}

et :

{\forall\, n\in\mathbb{N},\;x_{n+1}=f(x_n)}

\quad

Montrer que

{(x_n)_{n\ge0}}

converge vers

{c}

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Ouverts et fermés à la fois

Soit

{E}

un espace vectoriel normé. Montrer que les seules parties à la fois ouvertes et fermées sont

{\emptyset}

{E}

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Une conséquence de ||u(x)|| ≤ ||x||

(Oral Ccp)
Soit

{E}

un espace vectoriel normé de dimension finie.
Soit

{u\in\mathcal{L}(E)}

tel que :

{\forall x\in E,\;\left\|{u(x)}\right\|\le\left\|{x}\right\|}

.
Montrer que

{E = \text{Ker}(u-\text{Id})\oplus\text{Im}(u-\text{Id})}

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