Espaces euclidiens
Itérées d’une transformation du plan
(oral Centrale)
Dans le plan euclidien, soit {\Phi} l’application qui envoie le point {M = (a,b)} sur le projeté orthogonal de {M} sur la droite {(QP)} avec {P = (a,0)} et {Q = (0, b)}. Pour tout point M_0 du plan, on étudie la suite définie par {M_{n+1}=\Phi(M_{n})}.
Dans le plan euclidien, soit {\Phi} l’application qui envoie le point {M = (a,b)} sur le projeté orthogonal de {M} sur la droite {(QP)} avec {P = (a,0)} et {Q = (0, b)}. Pour tout point M_0 du plan, on étudie la suite définie par {M_{n+1}=\Phi(M_{n})}.
Une symétrie orthogonale
(Oral Centrale)
Soit {F\subset\mathbb{R}^{4}} d’équations {\begin{cases}x - y - z + t = 0\\2x - z - t = 0\end{cases}}
Déterminer la matrice de la symétrie orthogonale par rapport à {F}.
Soit {F\subset\mathbb{R}^{4}} d’équations {\begin{cases}x - y - z + t = 0\\2x - z - t = 0\end{cases}}
Déterminer la matrice de la symétrie orthogonale par rapport à {F}.
Matrices à diagonale propre
(Oral Centrale)
On dit que {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} vérifie {(\mathcal{P})} si ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux. Dans cet exercice, on étudie des conditions pour que cette propriété {(\mathcal{P})} soit vérifiée.
On dit que {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} vérifie {(\mathcal{P})} si ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux. Dans cet exercice, on étudie des conditions pour que cette propriété {(\mathcal{P})} soit vérifiée.
Minimum d’une forme quadratique
(Oral X-Cachan Psi)
On se donne un produit scalaire sur \mathbb{R}^n, un vecteur v de \mathbb{R}^n, une matrice A de \mathcal{M}_n(\mathbb{R)}, et f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} définie par {f(X)=\dfrac{1}{2}\left\|D_{1}X\right\|^{2}-\left(V\mid X\right)}.
On montre que f possède un minimum absolu sur \mathbb{R}^n et en on calcule la valeur.
On se donne un produit scalaire sur \mathbb{R}^n, un vecteur v de \mathbb{R}^n, une matrice A de \mathcal{M}_n(\mathbb{R)}, et f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} définie par {f(X)=\dfrac{1}{2}\left\|D_{1}X\right\|^{2}-\left(V\mid X\right)}.
On montre que f possède un minimum absolu sur \mathbb{R}^n et en on calcule la valeur.
Conservation du volume
Dans {E} euclidien de dimension {n}, soit {d\in\{1,\ldots,n\}}.
Si {x\in E^d} est liée, on pose {m(x) =0}.
Sinon, soit {\mathcal{B}} une base orthonormale de {\text{Vect}(x)}.
On pose alors {m(x) =\left|\det_{\mathcal{B}}(x)\right|}.
Soit {X_{d}} l’ensemble des endomorphismes de E tels que :
{\forall x\in E^{d},\; m(f(x_{1}),\ldots,f(x_{d})) = m(x)}L’objectif de l’exercice est de prouver que {X_{d}=O(E)}
Si {x\in E^d} est liée, on pose {m(x) =0}.
Sinon, soit {\mathcal{B}} une base orthonormale de {\text{Vect}(x)}.
On pose alors {m(x) =\left|\det_{\mathcal{B}}(x)\right|}.
Soit {X_{d}} l’ensemble des endomorphismes de E tels que :
{\forall x\in E^{d},\; m(f(x_{1}),\ldots,f(x_{d})) = m(x)}L’objectif de l’exercice est de prouver que {X_{d}=O(E)}
Un système différentiel matriciel
(Oral X-Cachan Psi)
Soit {A_{0}\in\mathcal{M}_{d}(\mathbb{R})} symétrique, et {B\in\mathcal{M}_{d}(\mathbb{R})} antisymétrique.
Soit l’équation {(E)} : {A'(t) = A(t)B - BA(t)} où {A(t)\in \mathcal{M}_{d}(\mathbb{R})} et {A(0) = A_{0}}.
On va montrer que la matrice {A(t)} reste semblable à {A_0}.
Soit {A_{0}\in\mathcal{M}_{d}(\mathbb{R})} symétrique, et {B\in\mathcal{M}_{d}(\mathbb{R})} antisymétrique.
Soit l’équation {(E)} : {A'(t) = A(t)B - BA(t)} où {A(t)\in \mathcal{M}_{d}(\mathbb{R})} et {A(0) = A_{0}}.
On va montrer que la matrice {A(t)} reste semblable à {A_0}.
Matrices de trace nulle (bis!)
(Oral Centrale)
Soit {M} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, avec {n\ge1}, telle que {\text{tr}(M)=0}.
Montrer qu’il existe {P\in O(n)} telle que {P^{\top}MP} soit de diagonale nulle.
Soit {M} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, avec {n\ge1}, telle que {\text{tr}(M)=0}.
Montrer qu’il existe {P\in O(n)} telle que {P^{\top}MP} soit de diagonale nulle.
Somme de projecteurs orthogonaux
(Oral Centrale)
Soient {p} et {q} deux projecteurs orthogonaux d’un espace euclidien {E}.
1. Montrer que le polynôme caractéristique de {u = p + q} est scindé.
2. Montrer que {\text{Sp}(u)\subset[0,2]}.
3. Déterminer {\text{Ker}(u)} et {\text{Ker}(u - 2\text{Id})}.
Soient {p} et {q} deux projecteurs orthogonaux d’un espace euclidien {E}.
1. Montrer que le polynôme caractéristique de {u = p + q} est scindé.
2. Montrer que {\text{Sp}(u)\subset[0,2]}.
3. Déterminer {\text{Ker}(u)} et {\text{Ker}(u - 2\text{Id})}.