Séries à termes positifs
Exercices sur le thème « séries à termes positifs »
Séries positives
Produits infinis
(Oral Centrale 2018)
Soit {(a_{n})\in (\mathbb{R}^{+*})^{\mathbb{N}}}. On pose {P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}a_{k}}.
On dit que le produit (infini) {\displaystyle\prod_{k\ge0}a_{k}} converge si la suite {(P_{n})} converge dans {\mathbb{R}^{+*}}.
Établir des conditions pour qu’un produit infini converge.
Soit {(a_{n})\in (\mathbb{R}^{+*})^{\mathbb{N}}}. On pose {P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}a_{k}}.
On dit que le produit (infini) {\displaystyle\prod_{k\ge0}a_{k}} converge si la suite {(P_{n})} converge dans {\mathbb{R}^{+*}}.
Établir des conditions pour qu’un produit infini converge.
Une suite récurrente paramétrée
Une série numérique à paramètre
(Oral Centrale)
Étude de {S(p)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n+p}}, où {u_{n}=\dfrac{1}{4^n}\dbinom{2n}{n}}.
Étude de {S(p)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n+p}}, où {u_{n}=\dfrac{1}{4^n}\dbinom{2n}{n}}.
Équivalents et sommes partielles
(Oral X-Cachan Psi)
Équivalents et sommes partielles.
Équivalents et sommes partielles.
Calculs de sommes de séries
Petits calculs de sommes de séries (sept exercices)
La constante d’Euler
Dans cet exercice, on voit la définition de la constante d’Euler \gamma, et le développement : {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}=\ln(n)+\gamma+\dfrac{1}{2n}+\text{o}\Bigl(\dfrac{1}{n}\Bigr)}.
D’Alembert (ou pas)
Préciser la nature de {\displaystyle\sum u_n} et {\displaystyle\sum v_n}, où : {\begin{array}{rl}u_{n}&=\dfrac{2\cdot5\cdot8\cdots(3n\!-\!1)}{1\cdot5\cdot9\cdots(4n\!-\!3)}\\\\v_{n}&=\dfrac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}\end{array}}
Sommes harmoniques et séries
(Oral Ccp)
On calcule {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_{n}}, où {u_{n}=\dfrac{1}{\sum\limits_{k=1}^{n}k^{2}}}.
On calcule {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_{n}}, où {u_{n}=\dfrac{1}{\sum\limits_{k=1}^{n}k^{2}}}.
Suite implicite et série
(Oral Ccp)
Soit u_n l’unique solution réelle de nx^{3}+n^{2}x=2.
Étudier {(u_{n})_{n\ge1}}, puis la convergence de {\displaystyle\sum_{n\ge1} u_{n}^{\alpha}} selon {\alpha}.
Soit u_n l’unique solution réelle de nx^{3}+n^{2}x=2.
Étudier {(u_{n})_{n\ge1}}, puis la convergence de {\displaystyle\sum_{n\ge1} u_{n}^{\alpha}} selon {\alpha}.
Équivalents et séries numériques
(Oral Ccp)
Équivalent de {v_{n}=\displaystyle\sum_{q=n}^{+\infty}\dfrac{1}{q^{\alpha}}}, puis nature de {\displaystyle\sum \dfrac{v_{n^{2}}}{v_{n}}}.
Équivalent de {v_{n}=\displaystyle\sum_{q=n}^{+\infty}\dfrac{1}{q^{\alpha}}}, puis nature de {\displaystyle\sum \dfrac{v_{n^{2}}}{v_{n}}}.
Nature de ∑sin(2πen!)
(Oral Mines-Ponts)
Soit {R_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}\dfrac{1}{k!}}. Montrer {\displaystyle\lim_{n\to\infty}(n\!+\!1)!R_{n}=1}.
Préciser la nature de {\displaystyle\sum_{n\ge0}\sin (2\pi\text{e}\,n!)}.
Soit {R_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}\dfrac{1}{k!}}. Montrer {\displaystyle\lim_{n\to\infty}(n\!+\!1)!R_{n}=1}.
Préciser la nature de {\displaystyle\sum_{n\ge0}\sin (2\pi\text{e}\,n!)}.
Suite récurrente, calculs asymptotiques
(Oral Centrale)
Soit {x_{0}>0} et : {\forall n\ge0,\;x_{n+1}=x_{n}+\dfrac{1}{x_{n}}}.
On demande un développement asymptotique à deux termes de {x_n} en {+\infty}.
Soit {x_{0}>0} et : {\forall n\ge0,\;x_{n+1}=x_{n}+\dfrac{1}{x_{n}}}.
On demande un développement asymptotique à deux termes de {x_n} en {+\infty}.
Étude d’une suite récurrente
(Oral Mines-Ponts)
Étudier la suite définie par u_1\gt0 et : {\forall n\ge1,\;u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+nu_{n}^{2}}}.
Étudier la suite définie par u_1\gt0 et : {\forall n\ge1,\;u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+nu_{n}^{2}}}.
Une limite de somme
(Oral Mines-Ponts)
Soit {p \in\mathbb{R}}. Étudier la suite {n\mapsto S_{n}(p) = \displaystyle\sum_{k=n}^{2n}\dfrac{1}{1+k^{p}}}.
Soit {p \in\mathbb{R}}. Étudier la suite {n\mapsto S_{n}(p) = \displaystyle\sum_{k=n}^{2n}\dfrac{1}{1+k^{p}}}.
Nature d’une série numérique
Reste d’une série de Riemann
(Oral Ccp)
Encadrement et équivalent de {R_{n}=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{\alpha}}}
Encadrement et équivalent de {R_{n}=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{\alpha}}}
Convergence d’une série numérique
(Oral Mines-Ponts)
Condition sur {P\in\mathbb{R}[X]} pour que {\displaystyle\sum\Bigl(\big( n^4+n^2\big)^{1/4}-\big(P(n)\big)^{1/3}\Bigr)} converge.
Condition sur {P\in\mathbb{R}[X]} pour que {\displaystyle\sum\Bigl(\big( n^4+n^2\big)^{1/4}-\big(P(n)\big)^{1/3}\Bigr)} converge.
Écriture binaire d’un nombre réel
(Oral X-Cachan Psi)
On pose {x \in[0,1[} et {x_{1} = \lfloor 2x\rfloor}
Puis {x_{n+1}= \lfloor 2^{n+1}(x - S_{n})\rfloor}, où {S_{n} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{x_{k}}{2^{k}}}.
On étudie la convergence de la suite (S_n) vers x, et l’unicité de la représentation.
On pose {x \in[0,1[} et {x_{1} = \lfloor 2x\rfloor}
Puis {x_{n+1}= \lfloor 2^{n+1}(x - S_{n})\rfloor}, où {S_{n} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{x_{k}}{2^{k}}}.
On étudie la convergence de la suite (S_n) vers x, et l’unicité de la représentation.
Formule de Stirling
On démontre ici l’équivalent : {n!\overset{+\infty}\sim \Bigl(\dfrac{n}{\text{e}}\Bigr)^{n}\,\sqrt{2\pi n}}.