Séries entières et équations différentielles

Exercices corrigés

Intégrale à paramètre et série entière

(Oral Mines-Ponts)
Montrer que

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\!\!\!\text{e}^{-t\sin x}\,\text{d}x}

est solution de

{(E) : ty^{\prime \prime}+y^{\prime }-ty+1=0}

Solutions de

{(E)}

développables en série entière ?
En déduire

{\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\!\!\!\sin^{n}(x)\,\text{d}x}

pour tout

{n\in \mathbb{N}}

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit l’équation différentielle

{(E)}

{2xy'+y=\dfrac{1}{1-x}}

.
Résoudre

{(E)}

sur

{]-\infty ,0[}

{]0,1[}

{]1,+\infty \lbrack}

.
Montrer que

{(E)}

a une unique solution sur

{]-\infty ,1[}

.
Montrer que cette solution est

{\mathcal{C}^{\infty}}

Rayon et somme

f

{\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{4^nn!^2}{(2n+1)!}\,x^{2n+1}}

.
On notera que

f

vérifie

{(1-x^2)y'-xy=1}

Développer

{f(x)=\arcsin^{2}(x)}

en série entière.

(Oral Ccp et Mines-Ponts)
Rayon et somme de

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}{\binom{2n}{n}} x^n}

(Oral Mines-Ponts)
Développer en série entière

{f(x)=e^{x^2}\displaystyle\int_0^xe^{-t^2}\,\text{d}t}

(Oral Mines-Ponts et Centrale)
Déterminer le rayon de

{g(x)=\exp\biggl(\displaystyle\sum_{n= 1}^{+\infty}\dfrac{x^n}{n^2}\biggr)}