Séries entières et équations différentielles

On trouvera ici les exercices corrigés du chapitre « Séries entières » dans la catégorie « Séries entières et équations différentielles ».

Équation fonctionnelle et série entière

(Oral Centrale) On considère l’unique fonction

{\mathcal{C}^\infty}

vérifiant

{y^3(x)+y(x)+x=0}

. On vérifie que

{y(x)}

satisfait à une équation différentielle linéaire d’ordre 2, et on en déduit que

{y(x)}

est développable en série entière.

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Une somme (bis) de série entière

(Oral Centrale) On définit une série entière. Après en avoir déterminé le rayon de convergence, on en calcule la somme par une méthode d’équation différentielle.

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Série entière à coefficients factoriels

(Oral Centrale) On étudie une série entière de somme

{f}

. Après résolution d’une équation différentielle linéaire, on calcule

{f}

aux bornes de l’intervalle de convergence.

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Série des inverses des nombres de Catalan

(Oral Centrale) On définit la suite des nombres de Catalan

{c_n}

. Par des méthodes de séries entières, on calcule la somme de la série des

{1/c_n}

et des

{n/c_n}

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Suites récurrentes et produit de Cauchy

(Oral Centrale) On définit une suite numérique par récurrence forte. Par des arguments de séries entières, on obtient une expression explicite du terme général.

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