Intégrale à paramètre et série entière
(Oral Mines-Ponts)
Montrer que {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\!\!\!\text{e}^{-t\sin x}\,\text{d}x} est solution de {(E) : ty^{\prime \prime}+y^{\prime }-ty+1=0}Solutions de {(E)} développables en série entière ?
En déduire {\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\!\!\!\sin^{n}(x)\,\text{d}x} pour tout {n\in \mathbb{N}}.
Montrer que {f(x)=\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\!\!\!\text{e}^{-t\sin x}\,\text{d}x} est solution de {(E) : ty^{\prime \prime}+y^{\prime }-ty+1=0}Solutions de {(E)} développables en série entière ?
En déduire {\displaystyle\int_{0}^{\pi /2}\!\!\!\sin^{n}(x)\,\text{d}x} pour tout {n\in \mathbb{N}}.