L’application matricielle M -> AM+MA
(Oral Centrale) On étudie l’application matricielle définie sur {\mathcal{M}_{n}(\K)} par {\varphi(M)=AM+MA}, où {A} est une matrice à polynôme caractéristique scindé.
Équations matricielles
L’équation matricielle AX-XB=Y
(Oral Centrale) On s’intéresse à l’équation matricielle {AX-XB=Y}, où {A} et {B} sont deux matrices à spectres disjoints. Dans un cas particulier, on exprime la solution {X} sous forme de série matricielle.
B polynôme en A ⇒ A polynôme en B ?
(Oral Mines-Ponts)
Soient {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} une matrice diagonalisable.
Soit {B=A^{3}+A+I_{n}}.
Si {\mathbb{K}=\mathbb{R}}, montrer que {A} est un polynôme en {B}.
Qu’en est-il si {\mathbb{K}=\mathbb{C}}?
Qu’en est-il si {\mathbb{K}=\mathbb{R}}, mais que {A} n’est pas supposée diagonalisable dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}?
Soient {A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})} une matrice diagonalisable.
Soit {B=A^{3}+A+I_{n}}.
Si {\mathbb{K}=\mathbb{R}}, montrer que {A} est un polynôme en {B}.
Qu’en est-il si {\mathbb{K}=\mathbb{C}}?
Qu’en est-il si {\mathbb{K}=\mathbb{R}}, mais que {A} n’est pas supposée diagonalisable dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}?
Équations matricielles
(Oral Centrale 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} telle que {A^{3}=I_{3}}, et {b\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})}.
Résoudre l’équation {Ax=x-b} où {x\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})}.
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} telle que {A^{3}=I_{3}}, et {b\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})}.
Résoudre l’équation {Ax=x-b} où {x\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})}.
Racines carrées d’une matrice
(Oral Centrale 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} triangulaire supérieure de diagonale {1,2,\ldots,n}.
L’équation {M^{2}=A} admet-elle des solutions ? Combien ?
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} triangulaire supérieure de diagonale {1,2,\ldots,n}.
L’équation {M^{2}=A} admet-elle des solutions ? Combien ?
(A²=B², A³=B³) ⇒ A=B ?
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {A,B\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} diagonalisables telles que {A^{2}=B^{2}} et {A^{3}=B^{3}}.
Montrer que {A=B}. Et si on ne suppose plus {A,B} diagonalisables?
Soit {A,B\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} diagonalisables telles que {A^{2}=B^{2}} et {A^{3}=B^{3}}.
Montrer que {A=B}. Et si on ne suppose plus {A,B} diagonalisables?
Matrices de Mn(ℤ) telles que M³+M+I=0
(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer les {n\geq 1} tels qu’il existe {M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z}),\;M^{3}+M+I_{n}=0_{n}}.
Déterminer les {n\geq 1} tels qu’il existe {M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z}),\;M^{3}+M+I_{n}=0_{n}}.
Racine n-ième matricielle
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})} telle que {A^{2}\neq 0}.
Montrer que : {\forall\,n\in\mathbb{N}^{*},\;\exists\,B\in\mathcal{M}_{2}(\mathbb{C}),\;A=B^{n}}.
Soit {A\in\mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})} telle que {A^{2}\neq 0}.
Montrer que : {\forall\,n\in\mathbb{N}^{*},\;\exists\,B\in\mathcal{M}_{2}(\mathbb{C}),\;A=B^{n}}.
Matrices annulant un polynôme donné
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {P\in\mathbb{R}[X]} non constant et {n\in\mathbb{N}^{*}}.
Existe-t-il toujours {M\!\in\!\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} telle que {P(M)\!=\!0}?
Soit {P\in\mathbb{R}[X]} non constant et {n\in\mathbb{N}^{*}}.
Existe-t-il toujours {M\!\in\!\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} telle que {P(M)\!=\!0}?
Équation matricielle AX-XB=Y
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {A,B} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}, à spectres disjoints. Montrer que {\chi_{A}(B)} est inversible.
Soit {Y\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}. Montrer {\exists\,X\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}),\;AX-XB=Y}.
Soit {A,B} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}, à spectres disjoints. Montrer que {\chi_{A}(B)} est inversible.
Soit {Y\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}. Montrer {\exists\,X\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}),\;AX-XB=Y}.
4A³+2A²+A=0, avec A ∈ Mn(ℤ)
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})} avec {4A^{3}+2A^{2}+A=0}. Que dire de {A} ?
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})} avec {4A^{3}+2A^{2}+A=0}. Que dire de {A} ?
Équation matricielle M2 + MT = In
(Oral Ccp)
Soit {M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} vérifiant {M^{2}+{M}^{\top}=I_{n}}.
1. Montrer que {M} est diagonalisable.
2. Montrer que {M} est inversible si et seulement si 1 n’est pas valeur propre de {M}.
Soit {M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} vérifiant {M^{2}+{M}^{\top}=I_{n}}.
1. Montrer que {M} est diagonalisable.
2. Montrer que {M} est inversible si et seulement si 1 n’est pas valeur propre de {M}.
Racine carrée matricielle
(Oral Ccp)
Soit {f\in{\mathcal L}(\mathbb{K}^{3})} de matrice {A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\-1&3&-3\\-2&2&-2\end{pmatrix}} dans la base canonique.
Existe-t-il {f\in{\mathcal L}(\mathbb{K}^{3})} telle que g^2=f?
Soit {f\in{\mathcal L}(\mathbb{K}^{3})} de matrice {A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\-1&3&-3\\-2&2&-2\end{pmatrix}} dans la base canonique.
Existe-t-il {f\in{\mathcal L}(\mathbb{K}^{3})} telle que g^2=f?
Racines carrées matricielles
(Oral Ccp)
Déterminer le nombre de matrices B\in{\mathcal M}_3(\mathbb{C}) telles que {B^2=}{\begin{pmatrix}2&3&1\\0&-4&-2\\4&12&5 \end{pmatrix}}.
Déterminer le nombre de matrices B\in{\mathcal M}_3(\mathbb{C}) telles que {B^2=}{\begin{pmatrix}2&3&1\\0&-4&-2\\4&12&5 \end{pmatrix}}.
Racines carrées d’une matrice
(Oral Ccem)
Déterminer les matrices {A\in{\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})} telles que {A^{2}=B=}{\begin{pmatrix}1&0&0\\1&2&0\\1&2&3\end{pmatrix}}
Déterminer les matrices {A\in{\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})} telles que {A^{2}=B=}{\begin{pmatrix}1&0&0\\1&2&0\\1&2&3\end{pmatrix}}
Racines carrées d’une matrice
(Oral Mines-Ponts)
Trouver les {M\in{\mathcal M}_{4}(\mathbb{C})} tq {M^2=}{\begin{pmatrix}0& 1& 1& 1\\1& 0& 1& 1\\1& 1& 0& 1\\1& 1& 1& 0\end{pmatrix}}
Trouver les {M\in{\mathcal M}_{4}(\mathbb{C})} tq {M^2=}{\begin{pmatrix}0& 1& 1& 1\\1& 0& 1& 1\\1& 1& 0& 1\\1& 1& 1& 0\end{pmatrix}}