Équations matricielles

On trouvera ici les exercices corrigés de mathprepa.fr (chapitre « Réduction des endomorphismes ») dans la catégorie « Réduction et équations matricielles ».

B polynôme en A ⇒ A polynôme en B ?

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

une matrice diagonalisable.
Soit

{B=A^{3}+A+I_{n}}

.
Si

{\mathbb{K}=\mathbb{R}}

, montrer que

{A}

est un polynôme en

{B}

.
Qu’en est-il si

{\mathbb{K}=\mathbb{C}}

?
Qu’en est-il si

{\mathbb{K}=\mathbb{R}}

, mais que

{A}

n’est pas supposée diagonalisable dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

➡️

Équations matricielles

(Oral Centrale 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

telle que

{A^{3}=I_{3}}

, et

{b\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})}

.
Résoudre l’équation

{Ax=x-b}

où

{x\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})}

➡️

Racines carrées d’une matrice

(Oral Centrale 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

triangulaire supérieure de diagonale

{1,2,\ldots,n}

.
L’équation

{M^{2}=A}

admet-elle des solutions ? Combien ?

➡️

(A²=B², A³=B³) ⇒ A=B ?

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A,B\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

diagonalisables telles que

{A^{2}=B^{2}}

{A^{3}=B^{3}}

.
Montrer que

{A=B}

. Et si on ne suppose plus

{A,B}

diagonalisables?

➡️

Matrices de M_n(ℤ) telles que M³+M+I=0

(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer les

{n\geq 1}

tels qu’il existe

{M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z}),\;M^{3}+M+I_{n}=0_{n}}

➡️

Racine n-ième matricielle

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})}

telle que

{A^{2}\neq 0}

.
Montrer que :

{\forall\,n\in\mathbb{N}^{*},\;\exists\,B\in\mathcal{M}_{2}(\mathbb{C}),\;A=B^{n}}

➡️

Matrices annulant un polynôme donné

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{P\in\mathbb{R}[X]}

non constant et

{n\in\mathbb{N}^{*}}

.
Existe-t-il toujours

{M\!\in\!\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

telle que

{P(M)\!=\!0}

➡️

Équation matricielle AX-XB=Y

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A,B}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

, à spectres disjoints. Montrer que

{\chi_{A}(B)}

est inversible.
Soit

{Y\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

. Montrer

{\exists\,X\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}),\;AX-XB=Y}

➡️

4A³+2A²+A=0, avec A ∈ Mn(ℤ)

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{Z})}

avec

{4A^{3}+2A^{2}+A=0}

. Que dire de

{A}

➡️

Équation matricielle M² + M^T = I_n

(Oral Ccp)
Soit

{M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

vérifiant

{M^{2}+{M}^{\top}=I_{n}}

.
1. Montrer que

{M}

est diagonalisable.
2. Montrer que

{M}

est inversible si et seulement si 1 n’est pas valeur propre de

{M}

➡️

Racine carrée matricielle

(Oral Ccp)
Soit

{f\in{\mathcal L}(\mathbb{K}^{3})}

de matrice

{A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\-1&3&-3\\-2&2&-2\end{pmatrix}}

dans la base canonique.
Existe-t-il

{f\in{\mathcal L}(\mathbb{K}^{3})}

telle que

g^2=f

➡️

Racines carrées matricielles

(Oral Ccp)
Déterminer le nombre de matrices

B\in{\mathcal M}_3(\mathbb{C})

telles que

{B^2=}

{\begin{pmatrix}2&3&1\\0&-4&-2\\4&12&5 \end{pmatrix}}

➡️

Racines carrées d’une matrice

(Oral Ccem)
Déterminer les matrices

{A\in{\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})}

telles que

{A^{2}=B=}

{\begin{pmatrix}1&0&0\\1&2&0\\1&2&3\end{pmatrix}}

➡️

Racines carrées d’une matrice

(Oral Mines-Ponts)
Trouver les

{M\in{\mathcal M}_{4}(\mathbb{C})}

{M^2=}

{\begin{pmatrix}0& 1& 1& 1\\1& 0& 1& 1\\1& 1& 0& 1\\1& 1& 1& 0\end{pmatrix}}

➡️