Séries entières à coefficients 0 ou 1
Oral Centrale) On s’intéresse aux séries entières dont les coefficients valent 0 ou 1 et à l’ensemble des complexes z qui annulent une telle série entière.
Suites et adhérence
Système à diagonale dominante
(Oral Centrale) On considère des systèmes linéaires {AX=B}, où la matrice {A} est « à diagonale dominante ». On voit comment approcher l’unique solution par des itérations successives. On termine par une application numétique.
Exponentielle d’une matrice
Montrer que pour toute matrice A de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}, il existe un polynôme {P} tel que {\exp(A)=P(A)}.
Existe-t-il un polynôme {P\in \mathbb{C}[X]} tel que {\forall\, A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}),\;\exp (A)=P(A)}
Existe-t-il un polynôme {P\in \mathbb{C}[X]} tel que {\forall\, A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}),\;\exp (A)=P(A)}
Adhérence des matrices diagonalisables
Montrer que toute matrice de {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} est limite d’une suite de matrices diagonalisables.
Moyenne des itérées d’une isométrie
(Oral Mines-Ponts 2018)
Dans {\mathbb{R}^{n}} euclidien, soit {a\in\text{O}(\mathbb{R}^{n})}.
Montrer que {\mathbb{R}^{n}=\text{Ker}\,(a-\text{Id})\oplus \text{Im}\,(a-\text{Id})}.
Étudier la suite {N\mapsto b_{N}=\dfrac{1}{N}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{N-1}a^{k}}
Dans {\mathbb{R}^{n}} euclidien, soit {a\in\text{O}(\mathbb{R}^{n})}.
Montrer que {\mathbb{R}^{n}=\text{Ker}\,(a-\text{Id})\oplus \text{Im}\,(a-\text{Id})}.
Étudier la suite {N\mapsto b_{N}=\dfrac{1}{N}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{N-1}a^{k}}
Puissances de matrices stochastiques
(Oral Centrale 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R^+})}, où {n\ge2} et {\forall i,\;\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}=1}.
Montrer que la suite {(A^{k})_{k\ge0}} converge.
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R^+})}, où {n\ge2} et {\forall i,\;\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}=1}.
Montrer que la suite {(A^{k})_{k\ge0}} converge.
Point fixe d’une fonction contractante
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {A} un fermé de {E} (evn de dimension finie).
Soit {f:A\rightarrow A}, {k}-lipschitzienne avec {0\le k\lt 1}.
Montrer que {f} possède un unique point fixe sur {E}.
Soit {A} un fermé de {E} (evn de dimension finie).
Soit {f:A\rightarrow A}, {k}-lipschitzienne avec {0\le k\lt 1}.
Montrer que {f} possède un unique point fixe sur {E}.
Adhérence des matrices diagonalisables
(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que l’adhérence de l’ensemble des matrices diagonalisables dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} est l’ensemble des matrices trigonalisables.
Montrer que l’adhérence de l’ensemble des matrices diagonalisables dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} est l’ensemble des matrices trigonalisables.
Puissances de matrices carrées
Trois exercices sur le thème « puissances de matrices carrées ».
Valeurs d’adhérence
(Oral X-Cachan Psi)
On définit l’ensemble des valeurs d’adhérence d’une suite complexe bornée (u). On montre qu’il fermé non vide, et se réduit à un singleton si et seulement si (u) converge. On étudie enfin le cas des suites définies par une récurrence du type u_{n+1}=f(u_n).
On définit l’ensemble des valeurs d’adhérence d’une suite complexe bornée (u). On montre qu’il fermé non vide, et se réduit à un singleton si et seulement si (u) converge. On étudie enfin le cas des suites définies par une récurrence du type u_{n+1}=f(u_n).
Question de point fixe
(Oral Centrale)
Soit {E} un espace vectoriel normé de dim finie.
Soit {K\subset E} un fermé borné non vide.
Soit {f:K\rightarrow K} telle que : {x\ne y\Rightarrow\|f(x)-f(y)\|\lt \|x-y\|}1. Montrer : {\exists\,!\,c\in K,\;f(c)=c}.
2. Soit {x_0\in K} et : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;x_{n+1}=f(x_n)}.
\quadMontrer que {(x_n)_{n\ge0}} converge vers {c}.
Soit {E} un espace vectoriel normé de dim finie.
Soit {K\subset E} un fermé borné non vide.
Soit {f:K\rightarrow K} telle que : {x\ne y\Rightarrow\|f(x)-f(y)\|\lt \|x-y\|}1. Montrer : {\exists\,!\,c\in K,\;f(c)=c}.
2. Soit {x_0\in K} et : {\forall\, n\in\mathbb{N},\;x_{n+1}=f(x_n)}.
\quadMontrer que {(x_n)_{n\ge0}} converge vers {c}.
Exp(A), avec A antisymétrique
(Oral X-Cachan Psi)
Soit {A =\begin{pmatrix}0&-c&b\\ c& 0& a\\-b&-a&0\end{pmatrix}\in {\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})}.
1. Montrer : {\exists\theta\in\mathbb{R},\;A^{3}=-\theta A}.
2. Montrer : {\forall\, n\in\,\mathbb{N}^{*},\;A^{2n}=(-\theta)^{n-1}A^{2}}.
3. On pose {S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}A^{k}}.
Montrer que {S_{\infty}= \displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}S_{n}} existe.
Calculer {(\alpha,\beta) \in\,\mathbb{R}^{2}} tel que {S_{\infty} = I_{3} + \alpha A + \beta A^{2}}.
Soit {A =\begin{pmatrix}0&-c&b\\ c& 0& a\\-b&-a&0\end{pmatrix}\in {\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})}.
1. Montrer : {\exists\theta\in\mathbb{R},\;A^{3}=-\theta A}.
2. Montrer : {\forall\, n\in\,\mathbb{N}^{*},\;A^{2n}=(-\theta)^{n-1}A^{2}}.
3. On pose {S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}A^{k}}.
Montrer que {S_{\infty}= \displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}S_{n}} existe.
Calculer {(\alpha,\beta) \in\,\mathbb{R}^{2}} tel que {S_{\infty} = I_{3} + \alpha A + \beta A^{2}}.
Une conséquence de ||u(x)|| ≤ ||x||
(Oral Ccp)
Soit {E} un espace vectoriel normé de dimension finie.
Soit {u\in\mathcal{L}(E)} tel que : {\forall x\in E,\;\left\|{u(x)}\right\|\le\left\|{x}\right\|}.
Montrer que {E = \text{Ker}(u-\text{Id})\oplus\text{Im}(u-\text{Id})}.
Soit {E} un espace vectoriel normé de dimension finie.
Soit {u\in\mathcal{L}(E)} tel que : {\forall x\in E,\;\left\|{u(x)}\right\|\le\left\|{x}\right\|}.
Montrer que {E = \text{Ker}(u-\text{Id})\oplus\text{Im}(u-\text{Id})}.