Une preuve de Cayley-Hamilton
(Oral Centrale) On établit ici le théorème de Cayley-Hamilton par une méthode à base de calcul intégral et de série entière matricielle.
Normes et distances
Système à diagonale dominante
(Oral Centrale) On considère des systèmes linéaires {AX=B}, où la matrice {A} est « à diagonale dominante ». On voit comment approcher l’unique solution par des itérations successives. On termine par une application numétique.
Minimiser une forme quadratique sur ℤxℤ
(Oral Centrale) On considère la forme quadratique {q(x,y)=rx^2+2sxy+ty^2}, avec {rt-s^2=3/4}, et on montre qu’il existe {(x,y)\in\mathbb{Z}^2} tel que {|q(x,y)|\le 1}.
Décomposition polaire par minimisation
(Oral Centrale) On prouve, par un argument de minimisation, que toute matrice réelle {A} s’écrit {A=RS}, avec {R} orthogonale positive et {S} symétrique.
Une bijection lipschitzienne
(Oral Mines-Ponts)
Soit {E} un espace vectoriel normé.Pour {x\in E}, on pose {f(x)=\dfrac{x}{1+\Vert x\Vert}}.Montrer que {f} est une bijection de {E} sur la boule unité ouverte {B}, et que {f} est lipschitzienne.
Soit {E} un espace vectoriel normé.Pour {x\in E}, on pose {f(x)=\dfrac{x}{1+\Vert x\Vert}}.Montrer que {f} est une bijection de {E} sur la boule unité ouverte {B}, et que {f} est lipschitzienne.
Deux normes équivalentes
(Oral Mines-Ponts)
On note {E=\mathcal{C}^{1}([0,1],\mathbb{R})}.
Soit {\varphi \in E} telle que {J=\displaystyle\int_{0}^{1}\varphi (t)\mathrm{d}t\neq 0}.
Pour toute {f\in E}, on pose : {\begin{array}{rl}N(f)&=|f(0)|+\displaystyle\int_{0}^{1}|f'(t)|\mathrm{d}t\\[9pt]N_{\varphi}(f)&=\left\vert \displaystyle\int_{0}^{1}f(t)\varphi (t)\mathrm{d}t\right|+\displaystyle\int_{0}^{1}|f'(t)|\mathrm{d}t\end{array}}Montrer que {N} et {N_{\varphi}} sont des normes équivalentes.
On note {E=\mathcal{C}^{1}([0,1],\mathbb{R})}.
Soit {\varphi \in E} telle que {J=\displaystyle\int_{0}^{1}\varphi (t)\mathrm{d}t\neq 0}.
Pour toute {f\in E}, on pose : {\begin{array}{rl}N(f)&=|f(0)|+\displaystyle\int_{0}^{1}|f'(t)|\mathrm{d}t\\[9pt]N_{\varphi}(f)&=\left\vert \displaystyle\int_{0}^{1}f(t)\varphi (t)\mathrm{d}t\right|+\displaystyle\int_{0}^{1}|f'(t)|\mathrm{d}t\end{array}}Montrer que {N} et {N_{\varphi}} sont des normes équivalentes.
Norme sur fonctions lipschitziennes
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {E} l’ensemble des fonctions lipschitziennes sur {[0,1]}.
Pour tout {f\in E}, soit {K(f)} la borne inférieure des {k} tels que {f} soit {k}-lipschitzienne.
Montrer que {N(f)=|f(0)|+K(f)} est une norme. La comparer avec {\|\;\|_{\infty}}.
Soit {E} l’ensemble des fonctions lipschitziennes sur {[0,1]}.
Pour tout {f\in E}, soit {K(f)} la borne inférieure des {k} tels que {f} soit {k}-lipschitzienne.
Montrer que {N(f)=|f(0)|+K(f)} est une norme. La comparer avec {\|\;\|_{\infty}}.
Comparaison de normes fonctionnelles
(Oral X-Cachan)
Un exercice de l’oral X-Cachan sur une comparaison de deux normes de fonctions.
Un exercice de l’oral X-Cachan sur une comparaison de deux normes de fonctions.
Distances dans un evn
Deux exercices sur le thème « distances dans un espace vectoriel normé ».
Normes matricielles
Cinq exercices sur le thème « normes matricielles ».
Inégalités entre distances
Soit {x,y,z,t} quatre vecteurs d’un espace vectoriel normé E. Montrer que :
{\begin{array}{rl}\left\|{x\!-\!t}\right\|+\left\|{y\!-\!z}\right\|&\le\left\|{x\!-\!y}\right\|+\left\|{y\!-\!t}\right\|\\[6pts]&\quad+\left\|{t\!-\!z}\right\|+\left\|{z\!-\!x}\right\|\end{array}}
{\begin{array}{rl}\left\|{x\!-\!t}\right\|+\left\|{y\!-\!z}\right\|&\le\left\|{x\!-\!y}\right\|+\left\|{y\!-\!t}\right\|\\[6pts]&\quad+\left\|{t\!-\!z}\right\|+\left\|{z\!-\!x}\right\|\end{array}}
Une conséquence de ||u(x)|| ≤ ||x||
(Oral Ccp)
Soit {E} un espace vectoriel normé de dimension finie.
Soit {u\in\mathcal{L}(E)} tel que : {\forall x\in E,\;\left\|{u(x)}\right\|\le\left\|{x}\right\|}.
Montrer que {E = \text{Ker}(u-\text{Id})\oplus\text{Im}(u-\text{Id})}.
Soit {E} un espace vectoriel normé de dimension finie.
Soit {u\in\mathcal{L}(E)} tel que : {\forall x\in E,\;\left\|{u(x)}\right\|\le\left\|{x}\right\|}.
Montrer que {E = \text{Ker}(u-\text{Id})\oplus\text{Im}(u-\text{Id})}.