On trouvera ici les exercices corrigés du site mathprepa.fr, extraits du chapitre « Espaces vectoriels normés », dans la catégorie « Normes et distance ».
(Oral Centrale) On considère des systèmes linéaires {AX=B}, où la matrice {A} est « à diagonale dominante ». On voit comment approcher l’unique solution par des itérations successives. On termine par une application numétique.
(Oral Centrale) On considère la forme quadratique {q(x,y)=rx^2+2sxy+ty^2}, avec {rt-s^2=3/4}, et on montre qu’il existe {(x,y)\in\mathbb{Z}^2} tel que {|q(x,y)|\le 1}.
(Oral Centrale) On prouve, par un argument de minimisation, que toute matrice réelle {A} s’écrit {A=RS}, avec {R} orthogonale positive et {S} symétrique.
(Oral Mines-Ponts)
Soit {E} un espace vectoriel normé.Pour {x\in E}, on pose {f(x)=\dfrac{x}{1+\Vert x\Vert}}.Montrer que {f} est une bijection de {E} sur la boule unité ouverte {B}, et que {f} est lipschitzienne.
(Oral Mines-Ponts)
On note {E=\mathcal{C}^{1}([0,1],\mathbb{R})}.
Soit {\varphi \in E} telle que {J=\displaystyle\int_{0}^{1}\varphi (t)\mathrm{d}t\neq 0}.
Pour toute {f\in E}, on pose : {\begin{array}{rl}N(f)&=|f(0)|+\displaystyle\int_{0}^{1}|f'(t)|\mathrm{d}t\\[9pt]N_{\varphi}(f)&=\left\vert \displaystyle\int_{0}^{1}f(t)\varphi (t)\mathrm{d}t\right|+\displaystyle\int_{0}^{1}|f'(t)|\mathrm{d}t\end{array}}Montrer que {N} et {N_{\varphi}} sont des normes équivalentes.
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {E} l’ensemble des fonctions lipschitziennes sur {[0,1]}.
Pour tout {f\in E}, soit {K(f)} la borne inférieure des {k} tels que {f} soit {k}-lipschitzienne.
Montrer que {N(f)=|f(0)|+K(f)} est une norme. La comparer avec {\|\;\|_{\infty}}.
Soit {x,y,z,t} quatre vecteurs d’un espace vectoriel normé E. Montrer que : {\begin{array}{rl}\left\|{x\!-\!t}\right\|+\left\|{y\!-\!z}\right\|&\le\left\|{x\!-\!y}\right\|+\left\|{y\!-\!t}\right\|\\[6pts]&\quad+\left\|{t\!-\!z}\right\|+\left\|{z\!-\!x}\right\|\end{array}}
(Oral Ccp)
Soit {E} un espace vectoriel normé de dimension finie.
Soit {u\in\mathcal{L}(E)} tel que : {\forall x\in E,\;\left\|{u(x)}\right\|\le\left\|{x}\right\|}.
Montrer que {E = \text{Ker}(u-\text{Id})\oplus\text{Im}(u-\text{Id})}.