Minimiser une forme quadratique sur ℤxℤ
(Oral Centrale) On considère la forme quadratique {q(x,y)=rx^2+2sxy+ty^2}, avec {rt-s^2=3/4}, et on montre qu’il existe {(x,y)\in\mathbb{Z}^2} tel que {|q(x,y)|\le 1}.
Projections orthogonales
Projection orthogonale dans Rn[X]
(Oral Mines-Ponts)
On munit {E=\mathbb{R}_{n}[X]} du produit scalaire {(P\mid Q)=\displaystyle\int_{0}^{1}P(t)Q(t)\,\text{d}t}Soit {A\ne0} dans {E}. Pour tout {P\in E}, on note {f_{A}(P)} le reste de la division euclidienne de {P} par {A}.
Montrer que {f_{A}} est un endomorphisme de {E}. À quelle condition est-ce un projecteur orthogonal?
On munit {E=\mathbb{R}_{n}[X]} du produit scalaire {(P\mid Q)=\displaystyle\int_{0}^{1}P(t)Q(t)\,\text{d}t}Soit {A\ne0} dans {E}. Pour tout {P\in E}, on note {f_{A}(P)} le reste de la division euclidienne de {P} par {A}.
Montrer que {f_{A}} est un endomorphisme de {E}. À quelle condition est-ce un projecteur orthogonal?
Distance à deux supplémentaires
(Oral Mines-Ponts)
Soient {F,G} deux sous-espaces de {E} euclidien.
Montrer que {F} et {G} sont supplémentaires orthogonaux si et seulement si :{\forall\, x\in E,\;\|x\|^{2}=d(x,\ F)^{2}+d(x,\ G)^{2}}
Soient {F,G} deux sous-espaces de {E} euclidien.
Montrer que {F} et {G} sont supplémentaires orthogonaux si et seulement si :{\forall\, x\in E,\;\|x\|^{2}=d(x,\ F)^{2}+d(x,\ G)^{2}}
Projection orthogonale sur un plan
Soit {\mathbb{R}^{3}} euclidien, muni de la base canonique.
Soit {P} le plan vectoriel orthogonal à {n=(1,1,1)}.
Donner la matrice {A} de la projection orthogonale {\pi} sur {P}.
Soit {P} le plan vectoriel orthogonal à {n=(1,1,1)}.
Donner la matrice {A} de la projection orthogonale {\pi} sur {P}.
Orthogonal non supplémentaire
Oral Centrale
On munit {\mathbb{R}[X]} de {\left(A\mid B\right)=\displaystyle\int_{-1}^{1}A(t)B(t)\,\text{d}t}.
Soit {H=\text{Ker}(\varphi)} avec {\varphi(A)=\displaystyle\int_{-1}^{1}\left|t\right|A(t)\,\text{d}t}.
A-t’on l’égalité {\mathbb{R}[X]=H\oplus H^{\bot}}?
On munit {\mathbb{R}[X]} de {\left(A\mid B\right)=\displaystyle\int_{-1}^{1}A(t)B(t)\,\text{d}t}.
Soit {H=\text{Ker}(\varphi)} avec {\varphi(A)=\displaystyle\int_{-1}^{1}\left|t\right|A(t)\,\text{d}t}.
A-t’on l’égalité {\mathbb{R}[X]=H\oplus H^{\bot}}?
Projecteur et transposition
(Oral Mines-Ponts 2018)
Caractériser les matrices {M} de projecteurs telles que {M^{T}M=M\,M^{T}}.
Caractériser les matrices {M} de projecteurs telles que {M^{T}M=M\,M^{T}}.
Un produit scalaire entre polynômes
(Oral Centrale Mp)
Étude de {\left(f\mid g\right)=\dfrac{2}{n}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1}f(c_{k})g(c_{k})}, où {c_k=\cos\Bigl(\dfrac{(2k+1)\pi}{2n}\Bigr)}
Étude de {\left(f\mid g\right)=\dfrac{2}{n}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1}f(c_{k})g(c_{k})}, où {c_k=\cos\Bigl(\dfrac{(2k+1)\pi}{2n}\Bigr)}
Distance à un sous-espace
Dans un espace euclidien E, on introduit la notion de matrice de Gram d’une famille de vecteurs.
On voit ensuite comment la distance d’un vecteur x à un sous espace F de E s’exprime comme le quotient des déterminants de deux matrices de Gram.
On voit ensuite comment la distance d’un vecteur x à un sous espace F de E s’exprime comme le quotient des déterminants de deux matrices de Gram.
Minimum d’une intégrale
Calculer le minimum de {I_{a,b}=\displaystyle\int_{0}^{1}(t\ln(t)-at-b)^2\,\text{d}t}, et pour quels {a,b}.
Matrice de projection orthogonale
Matrice de la projection orthogonale de {\mathbb{R}^{4}} sur {F:\begin{cases}x+y+z+t=0\\x-y+z-t=0\end{cases}}
Chebyshev et produit scalaire
(Oral X-Cachan Psi)
On munit {{\mathcal C}^{0}([-1,1],\mathbb{R})} du produit scalaire {\left(f\mid g\right)=\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)g(x)\sqrt{1- x^{2}}\,\text{d}x}On définit les {U_{n}(x) = \dfrac{\sin((n+1)\arccos(x))}{\sin(\arccos(x))}}.
On montre que sont des polynômes deux à deux orthogonaux. On approxime enfin {f\colon x\mapsto \sqrt{1-x^{2}}} par un polynôme de degré {\le 2}.
On munit {{\mathcal C}^{0}([-1,1],\mathbb{R})} du produit scalaire {\left(f\mid g\right)=\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)g(x)\sqrt{1- x^{2}}\,\text{d}x}On définit les {U_{n}(x) = \dfrac{\sin((n+1)\arccos(x))}{\sin(\arccos(x))}}.
On montre que sont des polynômes deux à deux orthogonaux. On approxime enfin {f\colon x\mapsto \sqrt{1-x^{2}}} par un polynôme de degré {\le 2}.
Une approximation quadratique
(Oral Ccp)
On munit \mathbb{R}[X] du produit scalaire : {\left(P\mid Q\right)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!P(t)Q(t)\text{e}^{-t}\,\text{d}t}Calculer {\left({X^{i}}\mid{X^{j}}\right)} pour {(i,j)\in\mathbb{N}^{2}.\phantom{\biggl|}}
Pour {(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})\in\,\mathbb{R}^n}, on pose : {f(a)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\Bigl(1-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}t^{k}\Bigr)^{2}\text{e}^{-t}\,\text{d}t}Déterminer le minimum de f sur {\mathbb{R}^{n}}.
On munit \mathbb{R}[X] du produit scalaire : {\left(P\mid Q\right)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!P(t)Q(t)\text{e}^{-t}\,\text{d}t}Calculer {\left({X^{i}}\mid{X^{j}}\right)} pour {(i,j)\in\mathbb{N}^{2}.\phantom{\biggl|}}
Pour {(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n})\in\,\mathbb{R}^n}, on pose : {f(a)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\Bigl(1-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}t^{k}\Bigr)^{2}\text{e}^{-t}\,\text{d}t}Déterminer le minimum de f sur {\mathbb{R}^{n}}.
Un orthogonal non supplémentaire
On munit {E=\mathscr{C}([-1,1],\mathbb{R})} du produit scalaire {\left(f\mid g\right)=\displaystyle\int_{-1}^{1}f(t)g(t)\text{d}t}Soit {\begin{cases}F=\{f\in E,\;\forall t\in[-1,0],\;f(t)=0\}\\[3pts]G=\{g\in E,\;\forall t\in[0,1],\;g(t)=0\}\end{cases}}
Montrer que {\begin{cases}F^{\bot\!}=G\\G^{\bot\!}=F\end{cases}\ } mais que F et G ne sont pas supplémentaires dans E.
Montrer que {\begin{cases}F^{\bot\!}=G\\G^{\bot\!}=F\end{cases}\ } mais que F et G ne sont pas supplémentaires dans E.