Sous-espaces vectoriels

On trouvera ici les exercices corrigés de mathprepa.fr issus du chapitre « Compléments d’algèbre linéaire », dans la catégorie « Sous-espaces vectoriels ».

Sous-espace de matrices de rang borné

(Oral Centrale)
Soit

{\mathcal{V}}

un sous-espace de

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

contenant

{\begin{pmatrix}I_{r} & 0 \\0 &0\end{pmatrix}}

.
On suppose :

{\forall\,M\in\mathcal{V},\;\textrm{rg}(M)\le r}

.
Montrer que

{\dim \mathcal{V}\leq nr}

➡️

Grassmann pour trois sous-espaces?

Soit

{F,G,H}

trois sous-espaces d’un

{\mathbb{K}}

-espace vectoriel

{E}

de dimension finie.
Y a-t-il un analogue de la formule de Grassmann pour

\dim(F+G+H)

➡️

Transformations en somme directe

Soit

{F_1,\ldots,F_p}

des sous-espaces de

{E}

tels que

{E=F_1+\cdots+F_p}

. Montrer qu’il existe des sous-espaces

{G_2,\ldots,G_p}

{E}

tels que

{G_j\subset F_j}

{E=F_1\oplus G_2\oplus\cdots\oplus G_p}

➡️

Endomorphismes tels que f³ = Id

Dans un espace vectoriel

E

sur

{\mathbb{K}}

, on caractérise les endomorphismes

f

tels que

{f^3=\text{Id}}

par des sommes directes.

➡️

Sommes directes de polynômes

On définit les trois sous-espaces de

{E=\mathbb{K}_3[X]}

{\begin{cases}F=\{P\in E, P(0)=P(1)=P(2)=0\}\\G=\{P\in E, P(1)=P(2)=P(3)=0\}\\H=\{P\in E, P(X)=P(-X)\}\end{cases}}

Caractériser

{F\oplus G}

et montrer

{E=F\oplus G\oplus H}

➡️

Supplémentaires isomorphes

Soit

F

un sous-espace d’un espace vectoriel

E

.
Montrer que les supplémentaires de

F

dans

E

sont isomorphes.

➡️

Caractérisation de somme directe

Soit

{A,B,C,D}

des sous-espaces vectoriels de

{E}

.
Montrer que

{A+B+C+D}

est directe si et seulement si :

{\begin{array}{l}(A\!+\!B)\cap(C\!+\!D)=(A\!+\!C)\cap(B\!+\!D)\\\quad=(A\!+\!D)\cap(B\!+\!C)=\{0\}\end{array}}

➡️

Une récurrence linéaire d’ordre 3

(Oral Ccp)
Étude des suites de

\mathbb{C}^{\mathbb{N}}

telles que

\forall\, n\in\mathbb{N},\;4u_{n+3}=3u_{n+2}+6u_{n+1}+4u_{n}

➡️

Un sous-espace de matrices

(Oral Ccp)
On identifie le sous-espace

{E=\left\{ M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R}),\;M+M^\top=2\text{tr} (M) I_n\right\}}

➡️

Une équation matricielle

(Oral Centrale)
Soient

{A\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

{E_{A}=\{X\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}),AXA=0\}}

.
Déterminer

{\dim (E_{A})}

en fonction du rang de

{A}

➡️

Commutant d’un nilpotent

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{u \in{\mathcal L}(E)}

, avec

\dim(E)=n

. On suppose

{u^{n}=0}

{u^{n-1}\ne0}

. Déterminer les sous-espaces vectoriels de

{E}

stables par

{u}

. Déterminer

{\mathcal{C}(u)=\{f\in {\mathcal L}(E),\;fu=uf\}}

.
Quelle est sa dimension?

➡️

Un espace d’applications linéaires

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{E,F}

deux

{\mathbb{C}}

-ev, où

{\dim(E)=n}

{\dim(F)=p}

, et

{f\in{\mathcal L}(E,F)}

. Préciser

{\dim(H)}

, où

{H=\{g\in{\mathcal L}(F,E),\;fgf=0\}}

➡️

Recherche de sous-espaces stables

(Oral Ccp)
Soit

{u\in\mathcal{L}(\R^3)}

canoniquement relié à

{\begin{pmatrix}3&1&2\\1&1&0\\-1&1&2\end{pmatrix}}

Décrire les sous-espaces stables par

{u}

➡️

Hyperplans et matrices inversibles

Soit

H

un hyperplan quelconque de

{{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}

.
Montrer que

H

contient au moins une matrice inversible.

➡️