Formes linéaires coordonnées
Exercices sur le thème « formes linéaires »
Compléments d’algèbre linéaire
Projecteurs de somme IdE
Soit {E} un {\mathbb{K}}-ev de dimension finie, et {p_1,\ldots,p_n} des projecteurs tels que {\sum_{j=1}^n p_j=\text{Id}_E}.
Montrer que {E=\displaystyle\bigoplus_{i=1}^{n}\text{Im}(p_i)}, et {i\ne j\Rightarrow p_i p_j=0}.
Montrer que {E=\displaystyle\bigoplus_{i=1}^{n}\text{Im}(p_i)}, et {i\ne j\Rightarrow p_i p_j=0}.
Rang d’une matrice à paramètre
Calculer le rang de {A=}{\begin{pmatrix}a^2 & a & 2 & 2a \\a & a^2 & 2a & 2 \\2 & 2a & a^2 & a \\2a & 2 & a & a^2\end{pmatrix}}
Déterminant et produit de Kronecker
Pour {A=\begin{pmatrix}a&b\cr c&d\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_2(\mathbb{K})}, {M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{K})}, soit {A\otimes M=\begin{pmatrix}aM&bM\cr cM&dM\end{pmatrix}}.
Établir que {\det(A\otimes M)=(\det A)^n(\det M)^2}
Déterminant par blocs
Soit {M,N,P,Q} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}, avec PQ=QP.
Montrer que {\det\begin{pmatrix}M&N\\ P&Q \end{pmatrix}=\det(MQ-NP)}.
Montrer que {\det\begin{pmatrix}M&N\\ P&Q \end{pmatrix}=\det(MQ-NP)}.
Inverse d’une matrice 4×4
Soit {A=}{\begin{pmatrix}1&1&1&1\cr1&1&-1&-1\cr1&-1&1&-1\cr1&-1&-1&-1\end{pmatrix}}. Calculer {A^2,A^3} puis {A^{-1}}.
Petit lemme des noyaux
Soit {f\in\mathcal{L}(E)} et {\alpha\ne\beta} dans {\mathbb{K}}. Montrer que:
{\begin{array}{l}\text{Ker}(f^2-(\alpha+\beta)f+\alpha\beta\text{Id})\\[3pts]\quad=\text{Ker}(f-\alpha\text{Id})\oplus\text{Ker}(f-\beta\text{Id})\end{array}}
{\begin{array}{l}\text{Ker}(f^2-(\alpha+\beta)f+\alpha\beta\text{Id})\\[3pts]\quad=\text{Ker}(f-\alpha\text{Id})\oplus\text{Ker}(f-\beta\text{Id})\end{array}}
Grassmann pour trois sous-espaces?
Soit {F,G,H} trois sous-espaces d’un {\mathbb{K}}-espace vectoriel {E} de dimension finie.
Y a-t-il un analogue de la formule de Grassmann pour \dim(F+G+H)?
Y a-t-il un analogue de la formule de Grassmann pour \dim(F+G+H)?
Transformations en somme directe
Soit {F_1,\ldots,F_p} des sous-espaces de {E} tels que {E=F_1+\cdots+F_p}. Montrer qu’il existe des sous-espaces {G_2,\ldots,G_p} de {E} tels que {G_j\subset F_j} et {E=F_1\oplus G_2\oplus\cdots\oplus G_p}.
Endomorphismes tels que f3 = Id
Dans un espace vectoriel E sur {\mathbb{K}}, on caractérise les endomorphismes f tels que {f^3=\text{Id}} par des sommes directes.
Sommes directes de polynômes
On définit les trois sous-espaces de {E=\mathbb{K}_3[X]} :
{\begin{cases}F=\{P\in E, P(0)=P(1)=P(2)=0\}\\G=\{P\in E, P(1)=P(2)=P(3)=0\}\\H=\{P\in E, P(X)=P(-X)\}\end{cases}}Caractériser {F\oplus G} et montrer {E=F\oplus G\oplus H}
{\begin{cases}F=\{P\in E, P(0)=P(1)=P(2)=0\}\\G=\{P\in E, P(1)=P(2)=P(3)=0\}\\H=\{P\in E, P(X)=P(-X)\}\end{cases}}Caractériser {F\oplus G} et montrer {E=F\oplus G\oplus H}
Supplémentaires isomorphes
Soit F un sous-espace d’un espace vectoriel E.
Montrer que les supplémentaires de F dans E sont isomorphes.
Montrer que les supplémentaires de F dans E sont isomorphes.
Caractérisation de somme directe
Soit {A,B,C,D} des sous-espaces vectoriels de {E}.
Montrer que {A+B+C+D} est directe si et seulement si : {\begin{array}{l}(A\!+\!B)\cap(C\!+\!D)=(A\!+\!C)\cap(B\!+\!D)\\\quad=(A\!+\!D)\cap(B\!+\!C)=\{0\}\end{array}}
Montrer que {A+B+C+D} est directe si et seulement si : {\begin{array}{l}(A\!+\!B)\cap(C\!+\!D)=(A\!+\!C)\cap(B\!+\!D)\\\quad=(A\!+\!D)\cap(B\!+\!C)=\{0\}\end{array}}
Une base de Cn[X]
(Oral Mines-Ponts)
Soient {(z_{j})_{0\leq j\leq n}} des nombres complexes distincts.
Montrer que la famille {((X-z_{j})^{n})_{0\leq j\leq n}} est une base de {\mathbb{C}_{n}[X]}
Soient {(z_{j})_{0\leq j\leq n}} des nombres complexes distincts.
Montrer que la famille {((X-z_{j})^{n})_{0\leq j\leq n}} est une base de {\mathbb{C}_{n}[X]}
Déterminant et racines d’un polynôme
(Oral Ccp)
On calcule un déterminant d’ordre n dont les coefficients diagonaux sont fonctions des racines (toutes distinctes) du polynôme {P_{n}=X^{n}-X+1}.
On calcule un déterminant d’ordre n dont les coefficients diagonaux sont fonctions des racines (toutes distinctes) du polynôme {P_{n}=X^{n}-X+1}.
Une récurrence linéaire d’ordre 3
(Oral Ccp)
Étude des suites de \mathbb{C}^{\mathbb{N}} telles que \forall\, n\in\mathbb{N},\;4u_{n+3}=3u_{n+2}+6u_{n+1}+4u_{n}.
Étude des suites de \mathbb{C}^{\mathbb{N}} telles que \forall\, n\in\mathbb{N},\;4u_{n+3}=3u_{n+2}+6u_{n+1}+4u_{n}.
Indépendance de formes linéaires
(Oral Centrale)
Soit {(f_{1},\ldots ,f_{p})} des formes linéaires sur {E}, avec \dim(E)=p. Montrer i)\Leftrightarrow ii)\Leftrightarrow iii) :
i) la famille {(f_{1},\ldots,f_{p})} est libre;
ii) {\varphi :x\in E\mapsto(f_{1}(x),\ldots,f_{p}(x))} est surjective;
iii) {\exists\, (x_{1},\ldots,x_{p})\in E^{p}}, {\det(f_{i}(x_{j}))_{1\leq i,j\leq p}\neq 0}.
Soit {(f_{1},\ldots ,f_{p})} des formes linéaires sur {E}, avec \dim(E)=p. Montrer i)\Leftrightarrow ii)\Leftrightarrow iii) :
i) la famille {(f_{1},\ldots,f_{p})} est libre;
ii) {\varphi :x\in E\mapsto(f_{1}(x),\ldots,f_{p}(x))} est surjective;
iii) {\exists\, (x_{1},\ldots,x_{p})\in E^{p}}, {\det(f_{i}(x_{j}))_{1\leq i,j\leq p}\neq 0}.
Un sous-espace de matrices
(Oral Ccp)
On identifie le sous-espace {E=\left\{ M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R}),\;M+M^\top=2\text{tr} (M) I_n\right\}}.
On identifie le sous-espace {E=\left\{ M\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R}),\;M+M^\top=2\text{tr} (M) I_n\right\}}.
Carré d’une matrice de rang ≤ 1
(Oral Ccp)
Soit {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}, avec {\text{rg}(A)\le 1}.
Montrer que {A^2=\text{tr}(A)A}.
Soit {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})}, avec {\text{rg}(A)\le 1}.
Montrer que {A^2=\text{tr}(A)A}.
Base de formes linéaires
(Oral Ccp)
On pose {f(x,y,z)=2x-y+z}, {g(x,y,z)= y-z} et {h(x,y,z)=-x +4y+2z}. Montrer que f,g,h forment une base de \mathcal{L}(\mathbb{R}^3,\mathbb{R}).
On pose {f(x,y,z)=2x-y+z}, {g(x,y,z)= y-z} et {h(x,y,z)=-x +4y+2z}. Montrer que f,g,h forment une base de \mathcal{L}(\mathbb{R}^3,\mathbb{R}).