Calcul asymptotique

Exercices corrigés de mathématiques en Mpsi Pcsi, sur le thème « Calcul asymptotique », posés aux concours.

Une recherche d’équivalent

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{(a,b)\in(\mathbb{R}^{+*})^2}

.
Montrer que :

{\displaystyle\prod_{k=1}^n (a+kb)^{1/n}\sim b(n!)^{1/n}}

➡️

Un calcul d’équivalent

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{(a,b)\in(\mathbb{R}^{+*})^2}

.
Montrer :

{\displaystyle\prod_{k=1}^n (a+kb)^{1/n}\sim b(n!)^{1/n}}

➡️

Équivalence d’équivalents

(oral Centrale)
Pour toute suite réelle

{(u_{n})}

, on étudie la propriété (P) suivante :

{u_{n}\sim \dfrac{1}{n}\Leftrightarrow u_{n}+u_{n-1}\sim \dfrac{2}{n}}

➡️

Équivalent d’une somme alternée

(Oral Mines-Ponts)
Calculer un équivalent de

{b_{n}=\displaystyle\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^{k}\sqrt{k}}

➡️

Un développement asymptotique

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{x_n}

la racine de

{x^{3n}-3nx+1}

dans

{[1,+\infty[}

.
Trouver

{a,b}

tels que

{x_{n}=1\!+\!a\dfrac{\ln n}{{n}}\!+\!\dfrac{b}{n}+\text{o}\Big(\dfrac{1}{n}\Big)}

➡️

Accélération de convergence (Aitken)

(Oral Centrale Mp)
Accélération de la convergence d’une suite récurrente (méthode d’Aitken)

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Étude de la suite n ⟼ (1+1/n)^n+a

(oral Centrale Mp)
Pour tout réel

{a}

, on sait que la suite

{n \mapsto (1+1/n)^{n+a}}

tend vers e. Dans cet exercice, on étudie la monotonie de cette suite, et sa position par rapport à la limite e, en fonction du paramètre

{a}

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Les racines du polynôme dérivé

(Oral Centrale Mp)
Comportement asymptotique des racines de

{P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}(X-k)}

➡️

Équivalent d’une somme

(oral Ccp)
Trouver la constante

K

telle que

{S_{n}=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{\sqrt k}\stackrel{n\rightarrow+\infty}{\sim}K\sqrt{n}}

➡️

Équivalents et polynômes

(oral Mines-Ponts)
Soit

{P \in\mathbb{R} [X]}

. Trouver un équivalent de

{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}P(k)}

quand

{n\to+\infty}

➡️

Étude d’une suite implicite

(oral Ccp)
Soit

u_n

l’unique solution positive de

{x^{n}+x^{n-1}+\cdots+x-1=0}

.
On étudie la limite

\ell

de la suite

(u_n)

, puis un équivalent de

u_n-\ell

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DL d’une bijection réciproque

(oral Ccp)
Montrer que

{f\colon x\mapsto x+\ln(1+x)}

est une bijective de

{]-1,+\infty[}

sur

{\mathbb{R}}

.
Montrer que

{g=f^{-1}}

est

{{\mathcal C}^{\infty}}

. Donner son DL en

0

à l’ordre

{3}

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Un développement asymptotique

(oral Mines-Ponts)
On considère l’équation

(E_n):\text{e}^x=x^n

, avec

n\in\mathbb{N}

.
1. Montrer que pour

n

assez grand

(E_n)

a dans

{\mathbb{R}^{+*}}

deux solutions

{u_{n}\lt v_{n}}

.
2. Montrer que la suite

{(u_{n})}

converge vers une limite

{\ell}

que l’on précisera. Donner un équivalent de

{u_{n}-\ell}

quand

{n}

tend vers

{+\infty}

.
3. Calculer

{\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}v_{n}}

puis donner un équivalent de

{v_{n}}

quand

{n}

tend vers

{+\infty}

.
4. Donner un développement asymptotique à deux termes de

{v_{n}}

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Formule de Stirling

On démontre ici l’équivalent :

{n!\overset{+\infty}\sim \Bigl(\dfrac{n}{\text{e}}\Bigr)^{n}\,\sqrt{2\pi n}}

➡️