Caractères de groupes abéliens finis
Décomposer une représentation d’un groupe abélien fini en droites stables. En déduire le rôle des caractères et établir leurs relations d’orthogonalité.
Ens Mp/Mpi
Représentation de groupe fini
Soit {\rho:G\to\mathrm{GL}(\mathbb{C}^n)} une représentation de {G}.
Résoudre {f(gg')=f(g)+\rho(g)f(g')}
Résoudre {f(gg')=f(g)+\rho(g)f(g')}
Représentations de Z, Z/nZ, et S3
Fonction signe d’une matrice
On étudie la « fonction signe » S(A) d’une matrice {A} inversible et trigonalisable sur {\mathbb{R}}.
Rang d’une matrice par blocs
Commutateur et vecteur propre
{A,B\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})} tq {AB-BA\in\operatorname{Vect}(A,B)}: elles ont un vecteur propre commun.
Suite convergte de C[X] et racines
Disques de Gershgorin, matrices compagnons, racines d’une suite CV de polynômes.
Diagonalisabilité dans M2(ℝ)
{A\!\in\!\mathcal{M}_2(\mathbb{R})}, {|\!\det A|\!=\!1}, sans valeur propre de module {1} : elle est diagonalisable sur {\mathbb{R}}
Générateurs de SL2(Z)
Deux matrices de transvection suffisent-elles à engendrer {\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})} ?
Résultant de deux polynômes
Résultant de deux polynômes; les matrices à spectre scindé forment un ouvert.
Automorphismes de Mn(K)
Puissances matricielles > 0
Quand une matrice {A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R^+)}} a-t-elle une puissance dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{R^{+*})}} ?
Vers une matrice unimodulaire
Peut-on compléter une ou deux colonnes entières en une matrice de déterminant {\pm1} ?
Itération de différences absolues
Les itérés de {X\mapsto|AX|} dans {\mathbb{N}^n}, pour une certaine matrice {A}, vont à 0 en temps fini.
Systèmes d’inéquations affines
Caractériser les systèmes d’inéquations affines qui ne possèdent aucune solution.
Le Lemme de Hensel
Relever une racine simple modulo {p} aux puissances de {p}. Application: {5x^3\!+\!x^2\!\equiv\!1\,[125]}
Valuations entières sur ℂ[X]
Classification des valuations entières sur {\mathbb{C}[X]}.
Polynômes réels stabilisant ℝ\ℚ
Les P de ℤ[X] dominés par 1 sur U
L’anneau des entiers algébriques
Les entiers algébriques forment un anneau. Quels sont ses éléments inversibles ?
Somme des racines primitives de 1
Somme des racines primitives {n}-ièmes de l’unité ? Relier ça à la fonction de Möbius.
Algèbres réelles à division
Entiers de Gauss sur un cercle
Majorer le nombre de points à coordonnées entières sur un cercle de rayon {R}.
Idéaux maximaux dans A[X]
Caractériser les idéaux maximaux d’un anneau.
Cas de {\mathbb{K}[X]}, et de {\mathbb{Z}[X]} dans un cas particulier.
Cas de {\mathbb{K}[X]}, et de {\mathbb{Z}[X]} dans un cas particulier.
Principe d’incertitude pour la TFD
Une fonction ET sa transformée de Fourier discrète peuvent-elles être de petit support ?
Somme de parties finies dans (G,+)
Approximation des algébriques
Itérer la somme des diviseurs
Une équation diophantienne
Résoudre {y^3=x^2+1} à l’aide d’une factorisation dans l’anneau des entiers de Gauss.
Minorer l’indicatrice d’Euler
Comment minorer l’indicatrice d’Euler {\varphi(n)} ? Comparer les minorations en {\sqrt n} et en {n}.