(Oral Ens Mp/Mpi)
Si {G} est un groupe, on appelle représentation de {G} tout couple {(V,\rho)}, où {V} est un espace vectoriel complexe de dimension finie et {\rho:G\to\mathrm{GL}(V)} un morphisme de groupes.
| Question a) Soit {n\in\mathbb{N}^\star}. Indiquer une bijection entre les représentations de {\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} et les couples {(V,u)} tels que {u\in\mathrm{GL}(V)} et {u^n=\mathrm{id}_V}. |
| Question b) On suppose désormais que {G} est un groupe commutatif fini. Soit {(V,\rho)} une représentation de {G}. Montrer que {V} est somme directe de droites stables par tous les {\rho(g)}. |
| Question c) Montrer que les représentations de dimension {1} s’identifient aux morphismes de {G} dans {\mathbb{C}^\star}. |
| Question d) Soit {\chi:G\to\mathbb{C}^\star} un morphisme non trivial. Calculer {\sum_{g\in G}\chi(g)}. Si {\chi_1,\chi_2} sont deux morphismes distincts de {G} dans {\mathbb{C}^\star}, calculer : {\sum_{g\in G}\overline{\chi_1(g)}\chi_2(g).} |
| Question e) Soient {(V_1,\rho_1)} et {(V_2,\rho_2)} deux représentations de {G}. Construire une représentation sur {\mathcal{L}(V_1,V_2)}. |