(Oral Ens Mp/Mpi)
Soient {m,n\geqslant2} et {P,Q\in\mathbb{C}[X]} de degrés respectifs {m} et {n}. On considère l’application : {\begin{array}{rcl}\Phi_{P,Q}:\mathbb{C}_{n-1}[X]\times\mathbb{C}_{m-1}[X]&\longrightarrow&\mathbb{C}_{m+n-1}[X]\\[8pt](U,V)&\longmapsto&UP+VQ.\end{array}}On note {M(P,Q)} sa matrice dans la base du domaine formée successivement des {(X^j,0)}, pour {0\leqslant j\lt n}, puis des {(0,X^j)}, pour {0\leqslant j\lt m}, et dans la base canonique du codomaine. On pose {D(P,Q)=\det M(P,Q)}.
| Question a) Calculer {D(P,Q)} lorsque {m=n=3}. |
| Question b) Relier {D(P,Q)} et {D(Q,P)}. |
| Question c) On écrit : {\begin{array}{l}P=\alpha\displaystyle\prod_{i=1}^{m}(X-\lambda_i),\\[8pt]Q=\beta\displaystyle\prod_{j=1}^{n}(X-\mu_j).\end{array}}Montrer que : {D(P,Q)=\beta^m\prod_{j=1}^{n}P(\mu_j).} |
| Question d) Montrer que l’ensemble des matrices de {\mathcal{M}_n(\mathbb{C})} ayant {n} valeurs propres distinctes est ouvert. |