Longueur d’un graphe polynomial
La longueur du graphe d’un polynôme sur {[0,1]} est différentiable en les coefficients.
Ens Mp/Mpi
Flot de gradient d’une fonction convexe
Étude du flot de gradient {x'=-\nabla F(x)} d’une fonction convexe.
Produit d’exponentielles de matrices
Invariance du polynôme caractéristique
Zéros d’une solution d’équadiff
Modèles de croissance à paramètre
Résoudre plusieurs modèles de croissance et comparer leurs taux relatifs à l’infini.
Limites des solutions d’une equadiff2
Intégrale et Cayley-Hamilton
Prouver Cayley-Hamilton en calculant deux fois une même intégrale matricielle
Indice d’un lacet et déformation
Étudier l’indice d’un lacet. Deux lacets assez proches ont le même indice autour de {0}.
Indice d’un chemin fermé
Dérivabilité complexe {\Rightarrow} différentiabilité réelle.
Indice d’un chemin et composantes connexes.
Indice d’un chemin et composantes connexes.
Reconstruction d’une fonction
Une fonction continue intégrable {f} est-elle déterminée par {F(z)\!=\!\int_{\mathbb{R}}f(t)/(t\!-\!z)\,\mathrm{d}t}?
Opérateur intégral et sev propres
Sev propres d’un opérateur intégral et d’un opérateur différentiel qui commutent.
Intégrale oscillante et équation d’Airy
Une intégrale oscillante à phase cubique définit-elle une fonction deux fois dérivable ?
L’intégrale de Fresnel
Une intégrale auxiliaire à paramètre permet de calculer l’intégrale de Fresnel {\int_0^{+\infty}\!\!e^{it^2}\mathrm{d}t}
Calcul de l’intégrale de Gauss
Calculer {\int_0^{+\infty}e^{-u^2}\,\mathrm{d}u} grâce à une intégrale auxiliaire dépendant d’un paramètre.
Dévelop. asymptotique d’une intégrale
Étudier une intégrale généralisée construite à partir de {u(x\!+\!y)\!+\!u(x\!-\!y)\!-\!2u(x)}.
Intégrale des puissances d’une fonction
Intégrale oscillante à phase perturbée
Une perturbation de la phase {nt} modifie-t-elle la limite d’une intégrale oscillante ?
Convergence en moyenne
Sommation de Borel et équa. diff.
Solution Borel-sommable de {t^2y'+y=t}.
Analyticité et dérivées positives
Montrer que {f\in\mathcal{C}^{\infty}(I,\mathbb{R})} (où {f^{(n)}\geqslant0} à tout ordre) est analytique.
Série génératrice des involutions
Fonction lisse à dérivées prescrites
Peut-on imposer arbitrairement toutes les valeurs {h^{(n)}(0)} d’une fonction lisse ?
Équivalent d’une série de fonctions
Équivalent en {+\infty} de {f(x)=\sum\ln(1+x/\lambda_n)}, sachant que {|\lambda_n\!-\!n^{2}|\leqslant Cn}
Convergence conditionnée
Densité de fonctions rationnelles
Approcher uniformément {f\in\mathcal{C}^{0}([a,b],\mathbb{R})} par des fonctions rationnelles.
CVU des polynômes de Bernstein
Approximation uniforme de {f\in C^0([0,1],\mathbb{R})} par ses polynômes de Bernstein.
Croissance d’une intégrale à paramètre
Montrer la croissance {p\mapsto I_f(p)=\left(p\int_0^{+\infty}t^{p-1}f(t)\,\mathrm{d}t\right)^{1/p}}