(Oral Ens Mp/Mpi)
On pose {E=\mathcal{C}^{0}([-1,1],\mathbb{C})}. Soit {c>0}. Pour {f\in E}, on définit :
{\forall\,x\in[-1,1],\quad F_c(f)(x)=\displaystyle\int_{-1}^{1}e^{icxy}f(y)\mathrm{d}y.}
| Question a) Montrer que {F_c\in\mathcal{L}(E)}. |
| Question b) Soit {f\in E}. Montrer que {F_c(f)} est développable en série entière. |
| Question c) Pour {f\in\mathcal{C}^{2}([-1,1],\mathbb{C})}, on pose : {L_c(f)(x)=-\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl((1-x^2)f'(x)\bigr)+c^2x^2f(x).}Montrer que {L_c} et {F_c} commutent. |
| Question d) Montrer que tout sous-espace propre de {F_c} contient un vecteur propre de {L_c}. Que peut-on dire de la dimension d’un sous-espace propre de {L_c} ? |