(Oral Ens Mp/Mpi)
On fixe {k>y_i>0} et {a>0}. On admet l’existence et l’unicité sur {\mathbb{R}^{+}} des solutions des problèmes de Cauchy considérés.
| Question a) Résoudre : {\begin{array}{l}y'=ay\ln(k/y),\\[4pt]y(0)=y_i.\end{array}}On note {y_0} cette solution. |
| Question b) Résoudre : {\begin{array}{l}y'=ay\left(1-\dfrac{y}{k}\right),\\[6pt]y(0)=y_i.\end{array}}On note {y_1} cette solution. |
| Question c) Déterminer un équivalent en {+\infty} de {y_0'/y_0} et de {y_1'/y_1}. |
| Question d) Soit {\mu\in]0,1]}. Résoudre : {\begin{array}{l}y'=\dfrac{ay}{\mu}\left(1-\left(\dfrac{y}{k}\right)^\mu\right),\\[8pt]y(0)=y_i.\end{array}}On note {y_\mu} cette solution. |
| Question e) Pour {x\geqslant0} fixé, montrer que {y_\mu(x)\to y_0(x)} lorsque {\mu\to0^+}. |