(Oral Ens Mp/Mpi)
Soit {F:\mathbb{R}^d\rightarrow\mathbb{R}} une fonction convexe de classe {\mathcal{C}^1} et soit {x_0\in\mathbb{R}^d}. On suppose que le problème : {\left\{\begin{array}{l}x'(t)=-\nabla F(x(t)),\\[6pt]x(0)=x_0\end{array}\right.}admet une solution définie sur {\mathbb{R}^+}.
| Question a) Montrer l’unicité de cette solution. |
| Question b) Soit {h>0}. On pose {y_0^h=x_0} et l’on définit {y_{k+1}^h} comme l’unique minimiseur de : {x\longmapsto F(x)+\dfrac{1}{2h}\lVert x-y_k^h\rVert^2.}Montrer que cette suite est bien définie et vérifie : {y_{k+1}^h-y_k^h=-h\nabla F(y_{k+1}^h).} |