(Oral Ens Mp/Mpi)
| Question a) Soit {(\lambda_n)} une suite réelle non bornée. Montrer qu’elle possède une sous-suite tendant vers {+\infty} ou vers {-\infty}. |
| Question b) Soient {a\lt b} et {S=[a,b]}. Une fonction {g:S\rightarrow\mathbb{R}} admet un {\varepsilon}-zoom en {x\in]a,b[} si : {\begin{array}{ll}g(t)\lt\varepsilon&\text{pour }t\in[a,x-\varepsilon[,\\[6pt]g(t)>1/\varepsilon&\text{pour }t\in]x+\varepsilon,b].\end{array}}Soit {R} l’ensemble des restrictions à {S} de fonctions rationnelles continues sur {S}. Montrer qu’il existe {g\in R} admettant un {\varepsilon}-zoom en {x}. |
| Question c) Soient {N\geqslant1}, {\Delta=(b-a)/N} et {0\lt\varepsilon\lt\Delta}. Le texte demande de construire {Z_0,\ldots,Z_N\in R} tels que, pour {1\leqslant k\leqslant N} : {\begin{array}{ll}Z_k(t)\lt\varepsilon Z_{k-1}(t)&\text{si }t\lt a+k\Delta-\varepsilon,\\[8pt]Z_k(t)>Z_{k-1}(t)/\varepsilon&\text{si }t>a+(k-1)\Delta+\varepsilon.\end{array}} |
| Question d) Montrer que {R} est dense dans {(\mathcal{C}^{0}(S,\mathbb{R}),\lVert\cdot\rVert_\infty)}. |