Convolution de suites
Convolution de suites sommables pondérées, et norme de l’opérateur {v\mapsto u\star v}.
Ens Mp/Mpi
Application dilatante sur un compact
Fonctions continues ouvertes
Fonctions continues de {[0,1]} dans lui-même envoyant tout ouvert sur un ouvert.
Moyenne géométrique et densité
Sous conditions de {M\subset\mathbb{R}^{+\star}}, l’ensemble {M\cap\mathbb{Q}} est dense dans {M}.
Rotations de Jacobi
Utiliser une rotation plane pour annuler un coeff. non diagonal de {A\in\mathcal{S}_n(\mathbb{R})}.
Réduction et valeurs singulières
À partir des valeurs propres de {A^TA}, former la décomposition en valeurs singulières.
Ordre sur les matrices symétriques
Dans {\mathcal{S}_n(\mathbb{R})}, {A\geqslant B\Leftrightarrow A\!-\!B\in\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})}.
Montrer que toute suite majorée converge.
Montrer que toute suite majorée converge.
Théorème spectral et compacité
Démonstration du théorème spectral par un argument de compacité.
Une inégalité de Minkowski
Comparer {\det(A\!+\!B)^{1/n}} et {\det(A)^{1/n}\!\!+\!\det(B)^{1/n}} pour {A,B\in \mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})}.
Racines de polynôme, matrice de Hankel
Matrice définie à partir des sommes de puissances des racines d’un polynôme.
Matrices symétriques de produit nul
Approcher la décomposition polaire
Approcher le facteur orthogonal de la décomposition polaire par une suite matricielle.
Complément de Schur et positivité
Avec le complément de Schur, quand une matrice symétrique par blocs est-elle positive?
Inégalité sur le déterminant
On établit une inégalité sur le déterminant, puis on relie déterminant et trace.
Équation de Lyapunov
Étude d’une involution S de Mn(ℝ)
Descente de gradient à pas optimal
Minimiser une fonction quadratique par descente de gradient à pas optimal.
Décomposition en valeurs singulières
Approcher la valeur propre dominante
Itérer {x\mapsto Ax/\|Ax\|} pour approcher la valeur propre dominante de {A\in\mathcal{S}_n(\mathbb{R})}.
Puissances d’une matrice symétrique
Étude de la suite des puissances d’une matrice symétrique à coefficients {>0}.
Une équation de Schrödinger
Théorèmes de Radon et de Helly
Théorèmes de Radon et de Helly; séparation de deux ensembles finis par un hyperplan
Quadrature de Gauss
Une formule d’intégration exacte au degré {2n-1} et à poids positifs.
Codiagonalisabilité générale
Les éléments d’une sous-algèbre de {\mathcal{M}_n(\mathbb{C})} sans nilpotents non nuls sont tous codiagonalisables.
Commutateur et cotrigonalisabilité
{\operatorname{rg}(AB-BA)\leqslant1\Rightarrow A,B} cotrigonalisables.
Bijectivité de V ↦ UV + VU dans Mn(ℂ)
Réduction du commutateur
Matrices telles que Ap = Ip (p premier)
Pour {p} premier, donner les {A\in\mathcal{M}_p(\mathbb{C})} telles que {A^p=I_p} ; idem avec {A\in\mathcal{M}_p(\mathbb{Q})}.
Réduire A sur ℝ (A diagonalisable sur ℂ)
Une matrice réelle est diagonalisable sur {\mathbb{C}}.
Quelle forme simple peut-on obtenir sur {\mathbb{R}} ?
Quelle forme simple peut-on obtenir sur {\mathbb{R}} ?
Endomorphismes semi-simples
Caractérisation des endomorphismes semi-simples par la factorisation de leur polynôme minimal.