(Oral Ens Mp/Mpi)
Soit {A\in\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})}.
| Question a) Montrer que {A^TA} est diagonalisable sur {\mathbb{R}} et que ses valeurs propres sont positives ou nulles. |
| Question b) On note {\mu_r\geqslant\cdots\geqslant\mu_1>0} les valeurs propres strictement positives de {A^TA}, comptées avec multiplicité, et {\sigma_i=\sqrt{\mu_i}}. Montrer qu’il existe {U\in\mathcal{O}_m(\mathbb{R})} et {V\in\mathcal{O}_n(\mathbb{R})} telles que {A=U\Sigma V^T}, où {\Sigma} est la matrice rectangulaire diagonale de coefficients {\sigma_1,\ldots,\sigma_r,0,\ldots,0}. Cette décomposition est-elle unique ? |