(Oral Ens Mp/Mpi)
Soit {A\in\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})}, de valeurs propres {0\lt\lambda_1\leqslant\cdots\leqslant\lambda_n}. On note {\lVert\cdot\rVert} la norme euclidienne.
| Question a) Montrer que, pour tout {X\in\mathbb{R}^n} : {\begin{array}{l}\lVert X\rVert^4\leqslant\langle AX,X\rangle\langle A^{-1}X,X\rangle,\\[10pt]\langle AX,X\rangle\langle A^{-1}X,X\rangle\\[6pt]\qquad\leqslant\displaystyle\frac12\left(\sqrt{\frac{\lambda_n}{\lambda_1}}+\sqrt{\frac{\lambda_1}{\lambda_n}}\right)^2\lVert X\rVert^4.\end{array}} |
| Question b) Soit {b\in\mathbb{R}^n} et {f(X)=\langle AX,X\rangle-\langle b,X\rangle}. On note {X^\star} son unique minimiseur. À partir de {X_0}, on définit : {X_{k+1}=X_k-\rho_k\nabla f(X_k),}où {\rho_k>0} minimise la fonction {\rho\mapsto f(X_k-\rho\nabla f(X_k))}. Justifier cette construction, montrer la convergence vers {X^\star} et étudier sa vitesse. |