(Oral Ens Mp/Mpi)
On munit {\mathbb{R}^n} de sa structure euclidienne canonique.
| Question a) Soit {u} un vecteur unitaire. Donner les expressions des projections orthogonales de {x} sur {\operatorname{Vect}(u)} et sur {\operatorname{Vect}(u)^\perp}. |
| Question b) Soit {A\in\mathcal{S}_n(\mathbb{R})}, de valeurs propres vérifiant : {|\lambda_1|>|\lambda_2|>\cdots>|\lambda_n|.}Soient {e_1,\ldots,e_n} des vecteurs propres unitaires associés. Pour {x_0} tel que {\langle x_0,e_1\rangle\neq0}, on définit : {\begin{array}{l}x_{k+1}=\displaystyle\frac{Ax_k}{\lVert Ax_k\rVert},\\[10pt]\ell_{k+1}=\langle Ax_k,x_k\rangle.\end{array}}Déterminer les limites éventuelles de ces suites. |
| Question c) Expliciter une suite convergeant vers {\lambda_2}, sans connaître explicitement {e_1}. |