(Oral Ens Mp/Mpi)
Pour {M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})}, on pose {M^\star=\overline{M}^{T}}.
| Question a) Montrer que : {\lVert A\rVert=\sqrt{\operatorname{tr}(A^\star A)}}définit une norme sur {\mathcal{M}_n(\mathbb{C})}. |
| Question b) Montrer que, si {U^\star U=I_n}, alors : {\lVert UA\rVert=\lVert AU\rVert=\lVert A\rVert.} |
| Question c) Pour {p\neq q} et {\theta\in\mathbb{R}}, on note {G(p,q,\theta)} la matrice égale à l’identité sauf dans les lignes et colonnes {p,q}, où son bloc est : {\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}.}Montrer que, pour toute matrice réelle {A} : {\lVert G(p,q,\theta)^TAG(p,q,\theta)\rVert=\lVert A\rVert.} |
| Question d) Soient {A\in\mathcal{S}_n(\mathbb{R})} et {p\lt q} tels que {a_{p,q}\neq0}. L’énoncé affirme qu’il existe un unique : {\theta\in]-\pi/4,0[\ \cup\ ]0,\pi/4[}tel que, pour {B=G(p,q,\theta)^TAG(p,q,\theta)}, on ait : {\begin{array}{l}b_{p,q}=0,\\[6pt]\displaystyle\sum_{i=1}^{n}b_{i,i}^2=\sum_{i=1}^{n}a_{i,i}^2+2a_{p,q}^2.\end{array}} |