(Oral Ens Mp/Mpi)
Soit {E} l’espace des fonctions de classe {\mathcal{C}^{\infty}} de {\mathbb{R}} dans {\mathbb{C}}, qui sont {2\pi}-périodiques. On pose : {\begin{array}{l}\langle f,g\rangle=\displaystyle\int_0^{2\pi}f(x)\overline{g(x)}\mathrm{d}x,\\[10pt]e_n(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{inx}\qquad(n\in\mathbb{Z}).\end{array}}
| Question a) Montrer que la famille {(e_n)_{n\in\mathbb{Z}}} est orthonormée. |
| Question b) On pose {E_N=\operatorname{Vect}(e_{-N},\ldots,e_N)}. Soit {A} l’endomorphisme de {E_N} défini par {Ae_n=ne_n}. Pour {f\in E_N}, on définit : {v(x,t)=\bigl(e^{itA^2}f\bigr)(x).}Montrer que : {i\frac{\partial v}{\partial t}-\frac{\partial^2v}{\partial x^2}=0.} |
| Question c) Calculer, pour {t\in\mathbb{R}} : {\int_0^{2\pi}|v(x,t)|^2\mathrm{d}x.} |
| Question d) Soit {F} l’espace des fonctions de classe {\mathcal{C}^{\infty}} de {\mathbb{R}^2} dans {\mathbb{C}}, {2\pi}-périodiques dans chacune des deux variables. On le munit du produit scalaire : {\langle f,g\rangle=\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi}f(x,t)\overline{g(x,t)}\mathrm{d}x\mathrm{d}t.}Pour {(n,j)\in\mathbb{Z}^2}, on pose {e_{n,j}(x,t)=e_n(x)e_j(t)}. Montrer que cette famille est orthonormée. |
| Question e) On pose : {F_N=\operatorname{Vect}\bigl(e_{n,j}:|n|\leqslant N,\ |j|\leqslant N^2\bigr).}Montrer que {|v|^2\in F_{2N}} et donner ses coordonnées dans la famille {(e_{n,j})}. En déduire qu’il existe une constante {C}, indépendante de {f}, telle que : {\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi}|v(x,t)|^4\mathrm{d}x\mathrm{d}t\leqslant C\lVert f\rVert^4.} |