(Oral Ens Mp/Mpi)
Une série formelle {\sum_{k\geqslant0}a_kt^{k}} est dite Borel-sommable si la série : {B(\rho)=\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{a_{k+1}}{k!}\rho^{k}}possède un rayon de convergence {R>0} et vérifie : {\int_0^R|B(\rho)|e^{-\rho}\mathrm{d}\rho\lt+\infty.}La somme est alors définie, pour {0\lt t\leqslant1}, par : {u(t)=a_0+\int_0^R B(\rho)e^{-\rho/t}\mathrm{d}\rho.}On considère l’équation : {(E)\qquad t^{2}y'(t)+y(t)=t,\qquad 0\lt t\leqslant1.}
| Question c) L’équation {(E)} admet-elle une solution développable en série entière autour de {0} ? |
| Question d) L’équation admet-elle une solution sous forme de somme de Borel ? |
| Question e) Montrer que {(E)} admet une unique solution ayant pour limite {0} en {0^{+}}. |
| Question f) Soit une série Borel-sommable au sens de la définition donnée, de somme {u}. Montrer que, pour tout {N\in\mathbb{N}} : {u(t)=\sum_{k=0}^{N}a_kt^{k}+o(t^{N})\qquad(t\rightarrow0^{+}).} |