(Oral Ens Mp/Mpi)
Soit {\gamma:[a,b]\rightarrow\mathbb{C}} de classe {\mathcal{C}^1}, telle que {\gamma(a)=\gamma(b)}. Pour {z\notin\gamma([a,b])}, on pose :
{n_\gamma(z)=\dfrac{1}{2i\pi}\displaystyle\int_a^b\dfrac{\gamma'(t)}{\gamma(t)-z}\mathrm{d}t.}
| Question a) Montrer que {n_\gamma(z)} est un entier. |
| Question b) Montrer que {n_\gamma} est constante sur les composantes connexes par arcs de {\mathbb{C}\setminus\gamma([a,b])}. |
| Question c) Montrer qu’il existe une unique composante non bornée du complémentaire de {\gamma([a,b])} et que {n_\gamma} y est nulle. |
| Question d) Calculer {n_\gamma(z)} lorsque {\gamma} parcourt le cercle unité et {|z|\lt 1}. |
| Question e) Soient {\gamma_1,\gamma_2:[a,b]\rightarrow\mathbb{C}} deux courbes fermées de classe {\mathcal{C}^1}, ne passant pas par {0}. On suppose : {\forall\,t\in[a,b],\quad|\gamma_1(t)-\gamma_2(t)|\lt |\gamma_1(t)|.}Montrer que {n_{\gamma_1}(0)=n_{\gamma_2}(0)}. |