(Oral Ens Mp/Mpi)
On admet l’existence d’une fonction {\varphi\in\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})}, égale à {1} sur {[-1/2,1/2]} et nulle en dehors de {[-1,1]}.
Soit {(a_n)_{n\in\mathbb{N}}} une suite réelle quelconque. On pose : {g_n(x)=\dfrac{a_n}{n!}x^{n}\varphi(x),\qquad f_n(x)=\lambda_n^{-n}g_n(\lambda_nx),}où les réels {\lambda_n\geqslant1} restent à choisir.
| Question Montrer que l’on peut choisir {(\lambda_n)} de sorte que : {h=\sum_{n=0}^{+\infty}f_n}soit de classe {\mathcal{C}^{\infty}} sur {\mathbb{R}} et vérifie : {\forall\,n\in\mathbb{N},\quad h^{(n)}(0)=a_n.} |