(Oral Ens Mp/Mpi)
Pour {n\geqslant1}, on note {I_n} le nombre de permutations {\sigma\in\mathfrak{S}_n} telles que {\sigma^{2}=\operatorname{id}}, identité comprise. On pose : {p_n=\dfrac{I_n}{n!},\qquad p_0=1,\qquad f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}p_nx^{n}.}
Question a)
Calculer {f(x)}. |
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Question b)
Montrer que : {p_n\geqslant\dfrac{1}{\sqrt{n!}}.} |
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Question c)
Montrer que : {p_n\leqslant\dfrac{e^{n/2+\sqrt n}}{n^{n/2}}.} |
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