(Oral Ens Mp/Mpi)
Soient {A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})}, {B\in\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{C})}.
Soit {K=\bigl(B\mid BA\mid\ldots\mid BA^{n-1}\bigr)^{\top}}
| Question a) Montrer que {\operatorname{rg}K=n} si et seulement si : {\forall\,\lambda\in\mathbb{C},\;\ker B\cap\ker(A-\lambda I_n)=\{0\}} |
| Question b) Montrer que {\operatorname{rg}K=n} si et seulement si, pour tout {\lambda\in\mathbb{C}}, l’image par {B} d’une base {(e_j)_{j\in J}} de {E_\lambda(A)} est une famille libre. |