(Oral Ens Mp/Mpi)
| Question a) Soient {x\in\mathbb{R}} et {Q\geqslant1} entier. Montrer qu’il existe {p,q\in\mathbb{Z}} tels que : {1\leqslant q\leqslant Q,\qquad\left|x-\dfrac pq\right|\leqslant\dfrac1{qQ}} |
| Question b) Soit {P\in\mathbb{Z}[X]} unitaire, irréductible dans {\mathbb{Q}[X]}, de degré {n\geqslant2}. Soit {x} une racine de {P}. Montrer qu’il existe {c>0} tel que, pour tout rationnel {p/q} écrit sous forme irréductible avec {q>0} : {\left|x-\dfrac pq\right|\geqslant\dfrac c{q^n}} |