(Oral Ens Mp/Mpi)
Soit {A} un anneau commutatif unitaire. Un idéal {M} est maximal s’il est différent de {A} et si les seuls idéaux contenant {M} sont {M} et {A}.
| Question a) Montrer que {M} est maximal si et seulement si, pour tout {a\notin M}, il existe {x\in M} et {u\in A} tels que {1=x+ua}. |
| Question b) Soient {B} un anneau commutatif et {f:A\rightarrow B} un morphisme surjectif. Montrer que, si {M} est maximal dans {A}, alors {f(M)=B} ou {f(M)} est maximal dans {B}. |
| Question c) Soit {\mathbb{K}} un corps. Déterminer les idéaux maximaux de {\mathbb{K}[X]}. |
| Question d), i) Soit {M} un idéal maximal de {\mathbb{Z}[X]} tel que {M\cap\mathbb{Z}\neq\{0\}}. Montrer qu’il existe un nombre premier {p} tel que : {M\cap\mathbb{Z}=p\mathbb{Z}} |
| Question d), ii) Montrer qu’il existe des éléments irréductibles {P,Q\in\mathbb{Z}[X]} tels que : {M=(P)+(Q)} |