(Oral Ens Mp/Mpi)
Soient {G} un groupe fini et {\rho:G\to\mathrm{GL}(\mathbb{C}^n)} un morphisme de groupes. Pour {w\in\mathbb{C}^n}, on définit {f_w:G\to\mathbb{C}^n} par : {\forall\,g\in G,\quad f_w(g)=w-\rho(g)w.}
| Question a) Montrer que, pour {w\in\mathbb{C}^n} et {g,g'\in G} : {f_w(gg')=f_w(g)+\rho(g)f_w(g').} |
| Question b) Soit {F} un sous-espace vectoriel de {\mathbb{C}^n} stable par tous les {\rho(g)}. Montrer qu’il admet un supplémentaire stable par tous les {\rho(g)}. |
| Question c) Soit {f:G\to\mathbb{C}^n} telle que : {\begin{array}{c}\forall\,(g,g')\in G^2,\\[6pt]f(gg')=f(g)+\rho(g)f(g').\end{array}}Montrer qu’il existe {w\in\mathbb{C}^n} tel que {f=f_w}. |