(Oral Ens Mp/Mpi)
Soit {\mathbb{K}} une {\mathbb{R}}-algèbre associative unitaire de dimension finie, contenant {\mathbb{R}}, dans laquelle tout élément non nul est inversible.
| Question a) Soit {a\in \mathbb{K}\setminus\mathbb{R}}. Montrer que {\mathbb{R}[a]} est une sous-algèbre de {\mathbb{K}} isomorphe à {\mathbb{C}}. |
| Question b) On suppose que {\dim_{\mathbb{R}}\mathbb{K}} vaut {2}, {3} ou {4}. Montrer que {\mathbb{K}} est isomorphe à {\mathbb{C}} ou à l’algèbre des quaternions, de base {(1,i,j,k)} et de relations : {\begin{array}{l}ij=-ji=k,\qquad jk=-kj=i,\\[6pt]ki=-ik=j,\qquad i^2=j^2=k^2=-1.\end{array}} |