Décomposer une représentation d’un groupe abélien fini en droites stables. En déduire le rôle des caractères et établir leurs relations d’orthogonalité.

Soit {\rho:G\to\mathrm{GL}(\mathbb{C}^n)} une représentation de {G}.
Résoudre {f(gg')=f(g)+\rho(g)f(g')}

On décrit les représentations de {\mathbb{Z}}, {\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}, et {S_3}

Relever une racine simple modulo {p} aux puissances de {p}. Application: {5x^3\!+\!x^2\!\equiv\!1\,[125]}

Les entiers algébriques forment un anneau. Quels sont ses éléments inversibles ?

Somme des racines primitives {n}-ièmes de l’unité ? Relier ça à la fonction de Möbius.

Une algèbre réelle où tout {a\ne0} est inversible peut-elle être de dim {3} ? de dim {2} ou {4}?

Majorer le nombre de points à coordonnées entières sur un cercle de rayon {R}.

Caractériser les idéaux maximaux d’un anneau.
Cas de {\mathbb{K}[X]}, et de {\mathbb{Z}[X]} dans un cas particulier.

Une fonction ET sa transformée de Fourier discrète peuvent-elles être de petit support ?

Approcher {x} par des rationnels: quelle précision ? Et si {x} est algébrique de degré {n}?

Itérer la somme des diviseurs stricts, et avoir {N} hausses consécutives pour tout {N\ge1}

Résoudre {y^3=x^2+1} à l’aide d’une factorisation dans l’anneau des entiers de Gauss.

Comment minorer l’indicatrice d’Euler {\varphi(n)} ? Comparer les minorations en {\sqrt n} et en {n}.