(Oral Ens Mp/Mpi)
| Question a) Soit {A=(a_{i,j})\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})}. On pose : {L_i=\displaystyle\sum_{\substack{1\leqslant k\leqslant n\\k\neq i}}|a_{i,k}|,\quad C_j=\displaystyle\sum_{\substack{1\leqslant k\leqslant n\\k\neq j}}|a_{k,j}|}Montrer que toute valeur propre de {A} appartient à chacun des deux ensembles : {\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}\overline{D}(a_{i,i},L_i),\quad\displaystyle\bigcup_{j=1}^{n}\overline{D}(a_{j,j},C_j)} |
| Question b) Soient {a_0,\ldots,a_{n-1}\in\mathbb{C}} et : {P=X^n-\sum_{k=0}^{n-1}a_kX^k.}Dans la base canonique {(e_1,\ldots,e_n)}, on définit la matrice compagnon {C(P)} par : {\begin{array}{ll}C(P)e_j=e_{j+1}&(1\leqslant j\lt n),\\[8pt]C(P)e_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}a_ke_{k+1}.&\end{array}}Montrer que {\chi_{C(P)}=P}. |
| Question c) Avec les notations précédentes, montrer que toute racine de {P} appartient au disque fermé de centre {0} et de rayon : {M=\max_{0\leqslant i\lt n}(1+|a_i|).} |
| Question d) Soit {P\in\mathbb{R}[X]} unitaire de degré {n}. Soit {(P_k)} une suite de polynômes réels unitaires de degré {n} convergeant vers {P}, pour une norme quelconque sur {\mathbb{R}_n[X]}. Soient {z_0} une racine de {P} de multiplicité {d} et {\varepsilon>0}. Montrer que, pour {k} assez grand, le disque ouvert {D(z_0,\varepsilon)} contient au moins {d} racines de {P_k}, comptées avec multiplicité. |