(Oral Ens Mp/Mpi)
Si {G} est un groupe, on appelle représentation de {G} tout couple {(V,\rho)} où {V} est un espace vectoriel complexe de dimension finie et {\rho:G\to\mathrm{GL}(V)} un morphisme de groupes.
| Question a) Indiquer une bijection entre les représentations de {\mathbb{Z}} et les couples {(V,u)}, où {V} est un espace vectoriel complexe de dimension finie et {u\in\mathrm{GL}(V)}. |
| Question b) Soit {n\in\mathbb{N}^\star}. Indiquer une bijection entre les représentations de {\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} et les couples {(V,u)} tels que {u\in\mathrm{GL}(V)} et {u^n=\mathrm{id}_V}. |
| Question c) En considérant les isométries d’un triangle équilatéral, déterminer une représentation {(V,\rho)} de {\mathfrak{S}_3} avec {\dim V=2} et {\rho} injectif. |