(Oral Ens Mp/Mpi)
On note {\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})} l’ensemble des matrices entières inversibles dont l’inverse est également à coefficients entiers.
| Question a) Montrer que {A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z})} appartient à {\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})} si et seulement si {\det A=\pm1}. |
| Question b) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que {(a,b)^{\mathsf T}} soit la première colonne d’une matrice de {\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z})}. |
| Question c) Soient {a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{Z}} premiers entre eux dans leur ensemble. Montrer que {(a_1,\ldots,a_n)^{\mathsf T}} est la première colonne d’une matrice de {\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})}. |
| Question d) Soient {U,V\in\mathbb{Z}^n}, avec {n\geqslant2}. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’ils soient les deux premières colonnes d’une matrice de {\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})}. |