Suites arithmétiques ou géometriques
Exercices sur le thème « suites arithmétiques ou géométriques »
Suites numériques
Suites adjacentes
Exercices sur le thème « suites adjacentes »
Limites de suites monotones
Exercices sur le thème « Limites de suites monotones ».
Limites de suites par encadrement
Exercices sur le thème « Limites de suites par encadrement »
Généralités sur les limites de suites
Exercices sur le thème « généralités sur les suites numériques »
Une suite cachée de carrés d’entiers
Montrer que {u_n=\dfrac{1}{32}\Bigl((17+12\sqrt2)^n+(17-12\sqrt2)^n-2\Bigr)} est toujours le carré d’un entier.
Deux suites adjacentes
(oral Ccp)
Montrer que {n\mapsto 2\sqrt{n}-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt k}} et {n\mapsto 2\sqrt{n\!+\!1}-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt k}} sont adjacentes.
Montrer que {n\mapsto 2\sqrt{n}-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt k}} et {n\mapsto 2\sqrt{n\!+\!1}-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt k}} sont adjacentes.
Décomposition en suites monotones
(oral Mines-Ponts)
Soit {u\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}}. Montrer qu’il existe des suites {v}, {w} respectivement croissante et décroissante telles que {u=v+w}.
Soit {u\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}}. Montrer qu’il existe des suites {v}, {w} respectivement croissante et décroissante telles que {u=v+w}.
Suites C-convergentes
(oral Centrale)
Une suite {(u_{n})} est dite C-convergente si {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}(u_{1}+\cdots+ u_{n})=0}.
Donner un exemple de suite {C}-convergente non convergente.
Montrer qu’une suite tendant vers {0} est {C}-convergente.
Soit {\alpha\in\,]0, 1[}. Montrer que la suite {n\mapsto(-1)^{n}n^{\alpha}} est {C}-convergente.
Une suite {(u_{n})} est dite C-convergente si {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}(u_{1}+\cdots+ u_{n})=0}.
Donner un exemple de suite {C}-convergente non convergente.
Montrer qu’une suite tendant vers {0} est {C}-convergente.
Soit {\alpha\in\,]0, 1[}. Montrer que la suite {n\mapsto(-1)^{n}n^{\alpha}} est {C}-convergente.
Itérées d’une transformation du plan
(oral Centrale)
Dans le plan euclidien, soit {\Phi} l’application qui envoie le point {M = (a,b)} sur le projeté orthogonal de {M} sur la droite {(QP)} avec {P = (a,0)} et {Q = (0, b)}. Pour tout point M_0 du plan, on étudie la suite définie par {M_{n+1}=\Phi(M_{n})}.
Dans le plan euclidien, soit {\Phi} l’application qui envoie le point {M = (a,b)} sur le projeté orthogonal de {M} sur la droite {(QP)} avec {P = (a,0)} et {Q = (0, b)}. Pour tout point M_0 du plan, on étudie la suite définie par {M_{n+1}=\Phi(M_{n})}.