Lois usuelles

On trouvera ici les exercices corrigés du site mathprepa.fr pour le chapitre « Probabilités » et dans la catégorie « Lois usuelles ».

Tchebychev le bien aimé

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{X}

une variable aléatoire de loi

{\mathcal{P}(\lambda)}

.
Montrer que

{\mathbb{P}(X\geq \lambda + 1) \leq \lambda}

.
Montrer que

{\mathbb{P}\left(X\leqslant \dfrac{\lambda}{3}\right) \leq \dfrac{9}{4\lambda}}

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Série des inverses des entiers premiers

(Oral X-Ens)
Dans cet exercice, on écrit la fonction Zeta de Riemann comme un produit infini; on en déduit que la série des inverses des entiers premiers diverge.

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Probabilités et équation différentielle

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A,B}

deux v.a.r. suivant la loi

{\mathcal{G}(p)}

.
Déterminer la probabilité que les solutions de :

{(E_{\omega }): y''+(A-1)y^{\prime }+By=0}

tendent vers

{0}

{+\infty}

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Stabilité de la loi binomiale

(Oral Centrale)
Soient

{Y,Z}

indépendantes à valeurs dans

{\mathbb{N}}

, et non constantes.
On suppose

{U=Y+Z\leadsto\mathcal{B}(n,p)}

.
Montrer que

{Y,Z}

suivent des lois binomiales.

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Différence de lois binomiales

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{X,Y}

deux v.a.r. indépendantes suivant

{\mathcal{B}(n,\frac{1}{2})}

.
Donner la loi, l’espérance et la variance de

{Z\!=\!X\!-\!Y}

.
Calculer

{\text{Cov}(X,Z)}

et leur coefficient de corrélation.

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Un tirage géométrique avec remise

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{N}

une v.a.r telle que

{N+1\leadsto\mathcal{G}(p)}

.
Dans urne contenant une boule bleue et une boule verte, on effectue

{N}

tirages avec remise.
Trouver la loi du nombre

{X}

de boules vertes tirées.

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Distance entre deux lois géométriques

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{X,Y}

deux v.a.r. indépendantes de loi

{\mathcal{G}(p)}

.
Loi et espérance de

{Z=|X-Y|}

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Série de lois de Poisson indépendantes

(Mines-Ponts 2018)
On se donne les v.a.r. indépendantes

{(X_{n})_{n\geq 1}}

.
On suppose que

{X_n\!\leadsto\!\mathcal{P}(\lambda_n)}

et que

{\displaystyle\sum_{n\ge1}\lambda_{n}}

converge.
Montrer que

{\displaystyle\sum_{n\ge1}{X_{n}}\!\leadsto\!\mathcal{P}\Bigl(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\lambda_k\Bigr)}

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Un exercice très improbable

(Oral XCachan Psi)
Soit

{X_1,X_2,Y}

trois v.a.r. indépendantes.
On suppose

{\begin{cases}X_{1}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_1)\\X_{2}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_2)\end{cases}}

, et

{\begin{cases}Y(\Omega)\subset\{-1,1\}\\p=\mathbb{P}(Y=-1)\end{cases}}

On pose

{M=\begin{pmatrix} X_{1}^{2} & X_{2}^{2} \\ YX_{2}^{2} & X_{1}^{2}\end{pmatrix}}

.
Probabilité que

{M}

soit diagonalisable dans

\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})

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Somme de lois de Poisson

(Oral Ccp)
Soient les v.a.r. indépendantes

{\begin{cases}X\leadsto {\mathcal P}(\lambda)\\Y \leadsto{\mathcal P}(\mu)\end{cases}}

Donner la loi de

{Z = X + Y}

.
Donner celle de

{X}

sachant

{(Z = n)}

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Fonction d’une loi de Poisson

(Oral Centrale)
Soit

{X}

une v.a.r. telle que

{X\leadsto \mathcal{P}(\lambda)}

.
Si

{X}

est paire, on pose

{Y = X\text{/}2}

, et

{Y=0}

sinon.
Donner la loi de

{Y}

, son espérance et sa variance.

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