Lois usuelles

Exercices sur le thème « Lois usuelles »

Tchebychev le bien aimé

(Oral Mines-Ponts)
Soit {X} une variable aléatoire de loi {\mathcal{P}(\lambda)}.
Montrer que {\mathbb{P}(X\geq \lambda + 1) \leq \lambda}.
Montrer que {\mathbb{P}\left(X\leqslant \dfrac{\lambda}{3}\right) \leq \dfrac{9}{4\lambda}}

Différence de lois binomiales

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {X,Y} deux v.a.r. indépendantes suivant {\mathcal{B}(n,\frac{1}{2})}.
Donner la loi, l’espérance et la variance de {Z\!=\!X\!-\!Y}.
Calculer {\text{Cov}(X,Z)} et leur coefficient de corrélation.

Série de lois de Poisson indépendantes

(Mines-Ponts 2018)
On se donne les v.a.r. indépendantes {(X_{n})_{n\geq 1}}.
On suppose que {X_n\!\leadsto\!\mathcal{P}(\lambda_n)} et que {\displaystyle\sum_{n\ge1}\lambda_{n}} converge.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n\ge1}{X_{n}}\!\leadsto\!\mathcal{P}\Bigl(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\lambda_k\Bigr)}

Un exercice très improbable

(Oral XCachan Psi)
Soit {X_1,X_2,Y} trois v.a.r. indépendantes.
On suppose {\begin{cases}X_{1}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_1)\\X_{2}\leadsto\mathcal{P}(\lambda_2)\end{cases}}, et {\begin{cases}Y(\Omega)\subset\{-1,1\}\\p=\mathbb{P}(Y=-1)\end{cases}}
On pose {M=\begin{pmatrix} X_{1}^{2} & X_{2}^{2} \\ YX_{2}^{2} & X_{1}^{2}\end{pmatrix}}.
Probabilité que {M} soit diagonalisable dans \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})?

Somme de lois de Poisson

(Oral Ccp)
Soient les v.a.r. indépendantes {\begin{cases}X\leadsto {\mathcal P}(\lambda)\\Y \leadsto{\mathcal P}(\mu)\end{cases}}
Donner la loi de {Z = X + Y}.
Donner celle de {X} sachant {(Z = n)}.