QCM (continuité et dérivabilité)
Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 13 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « continuité et dérivabilité ».
Limites, continuité
Quiz (limites de fonctions)
Un Quiz de 19 questions sur les calculs de limites de fonctions d’une variable réelle.
Primitives et limites comparées
(Mines-Ponts)
Soit {f\in \mathcal{C}^{0}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})} . Pour {x\in \mathbb{R}^{+}}, on pose : {F(x)=\!\displaystyle\int_{0}^{x}\!\!f(t)\text{d}t\;\text{et}\;g(x)\!=\!f(x)\!+\!F(x)}On suppose que {f} a une limite finie en {+\infty }.
En est-il de même de {F}?
On suppose que {F} a une limite finie en {+\infty }.
En est-il de même de {f}?
On suppose que {g} a une limite finie en {+\infty }.
Déterminer la limite de {f} en {+\infty }.
Soit {f\in \mathcal{C}^{0}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})} . Pour {x\in \mathbb{R}^{+}}, on pose : {F(x)=\!\displaystyle\int_{0}^{x}\!\!f(t)\text{d}t\;\text{et}\;g(x)\!=\!f(x)\!+\!F(x)}On suppose que {f} a une limite finie en {+\infty }.
En est-il de même de {F}?
On suppose que {F} a une limite finie en {+\infty }.
En est-il de même de {f}?
On suppose que {g} a une limite finie en {+\infty }.
Déterminer la limite de {f} en {+\infty }.
Fonctions additives bornées à l’origine
(Oral Centrale)
Soit {f\colon\mathbb{R}\in\mathbb{R}} telle que : {\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^{2},\;f(x+y)=f(x)+f(y)}Déterminer {f(0)}. Pour {x\in\mathbb{R}} et {\lambda\in\mathbb{Q}}, exprimer {f(\lambda x)} en fonction de {f(x)}.
On suppose {f} continue en {0}. Montrer que {f} est continue sur {\mathbb{R}}. Dans ce cas, déterminer {f}.
Idem avec {f} bornée au voisinage de {0}.
Soit {f\colon\mathbb{R}\in\mathbb{R}} telle que : {\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^{2},\;f(x+y)=f(x)+f(y)}Déterminer {f(0)}. Pour {x\in\mathbb{R}} et {\lambda\in\mathbb{Q}}, exprimer {f(\lambda x)} en fonction de {f(x)}.
On suppose {f} continue en {0}. Montrer que {f} est continue sur {\mathbb{R}}. Dans ce cas, déterminer {f}.
Idem avec {f} bornée au voisinage de {0}.
Continuité sur un intervalle (3/3)
Exercices sur le thème « continuité sur un intervalle » (3/3)
Continuité sur un intervalle (2/3)
Exercices sur le thème « continuité sur un intervalle »
Continuité sur un intervalle (1/3)
Exercices sur le thème « continuité sur un intervalle » (1/3)
Limite et continuité en un point (3/3)
Exercices sur le thème « Limite et continuité en un point » (3/3)
Limite et continuité en un point (2/3)
Exercices sur le thème « Limite et continuité en un point » (2/3)
Limite et continuité en un point (1/3)
Exercices sur le thème « Limite et continuité en un point » (1/3)
Points fixes uniques
(oral Mines-Ponts)
Soient {f} et {g} deux fonctions continues sur {\mathbb{R}}, avec {f\circ g} décroissante.
Montrer que {f\circ g} et {g\circ f} admettent un unique point fixe.
Soient {f} et {g} deux fonctions continues sur {\mathbb{R}}, avec {f\circ g} décroissante.
Montrer que {f\circ g} et {g\circ f} admettent un unique point fixe.