Continuité sur un intervalle (2/3)

Exercices corrigés

Exercice 1.
Montrer qu’il n’existe pas de fonction continue

{f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}}

telle que :
– L’image de tout rationnel est un irrationnel.
– L’image de tout irrationnel est un rationnel.

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Exercice 2.
Soit

{f:I\rightarrow\mathbb{R}}

, continue injective. Montrer que

{f}

est strictement monotone.

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Exercice 3.
Soit

{f,g}

continues de

{[0,1]}

dans lui-même, telles que

{g\circ f=f\circ g}

.
Montrer qu’il existe

{x_{0}}

dans

{[0,1]}

tel que

{f(x_{0})=g(x_{0})}

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Exercice 4.
Déterminer les

{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}

telles que :

{\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2,\;|f(x)-f(y)|=|x-y|}

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Exercice 5.
Soit

{f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}}

, continue, avec

{f(0)=f(1)}

Montrer que : ${\begin{array}{l}\forall\, n\in\mathbb{N}^*,\;\exists\,\alpha_n\in\Big[0,1-\dfrac{1}{n}\Big],\\f\Big(\alpha_n+\dfrac1n\Big)=f(\alpha_n)\end{array}}$
Si on remplace ${\dfrac 1n}$ par ${\lambda\in\,]0,1[}$ où ${\dfrac1\lambda\notin\mathbb{N}^*}$ ?

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